A sajátértékei valós szimmetrikus mátrix
valós szám # 955; és z vektor nevezzük egy sajátmódus pár mátrix, ha azok megfelelnek a következő feltételt: Az = # 955; z. Sőt, egy igazi mátrix keresési probléma Kizárólag sajátértékei, vagy mindkettő sajátértékek és vektorok.
Ha egy valódi mátrix mérete NxN szimmetrikus, azt n sajátérték (nem feltétlenül különböző) és N megfelelő sajátvektor képező ortonormális alapján sajátvektorok (általában, sajátvektorok azonban nem ortogonálisak, és lehet kisebb, mint N).
Cayley-Hamilton-tétel: A négyzetes mátrix kielégíti a karakterisztikus egyenlet.
Közvetlen ellenőrzés igazolja ezt az állítást a mátrix a sorrendben 2:
Ezután: c (A) = A2 - (a11 + A22) A + (a11a22 - a12a21) E =
4.Tézis rendszerek lineáris egyenletek
Lineáris egyenletek, típusai.
Lineáris műveletek felett semmilyen tárgyat nevezték összeadás és szorzás számmal.
Lineáris kombinációja változók alkalmazásának eredménye, hogy a lineáris műveletet, azaz ahol a változók száma.
Egy lineáris egyenlet egyenlet formájában (2,1), ahol b - száma - ismeretlen.
Így a bal oldalon a lineáris egyenlet egy lineáris kombinációja az ismeretlen, és a jobb oldalon - számot.
Lineáris egyenletet homogénnek nevezzük. ha b = 0. Ellenkező esetben a egyenletet nevezzük nem egyenletes.
Lineáris egyenletrendszer (lineáris rendszer) egy olyan rendszer formájában: (2.2)
hol. - száma - ismeretlen, n - az ismeretlenek száma, m - a száma egyenletek.
Megoldás a lineáris rendszer (2.2) egy számsor, ami cserélve az ismeretlenek fizetni rendszer minden egyenlet igaz egyenlőséget.
Cramer: Cramer-szabály képlet egy megtalálni a megoldást egy olyan rendszer n egyenletek n ismeretlennel és determináns, mint 0.
Ez a módszer is alkalmazható kizárólag rendszerek lineáris egyenletek, ahol a változók száma, ahány egyenlet. Ezen kívül szükség van, hogy korlátozásokat együtthatók alapján. Szükséges, hogy minden az egyenletek lineárisan független, azaz a sem az egyenletnek nem lenne lineáris kombinációja a többiek.
Ez megköveteli, hogy a rendszer meghatározója a mátrix nem egyenlő 0. det A ¹ 0;
Sőt, ha egy adott egyenlet a rendszer egy lineáris kombinációja a többiek, ha az elemek egy sor, hogy további elemek, szorozva tetszőleges számú, a segítségével lineáris transzformációk is kap egy üres karakterlánc. A meghatározó ebben az esetben nulla lesz.
Tétel (Cramer-szabály) .Sistema n egyenletek n ismeretlennel
ha a meghatározója a mátrix rendszer nem nulla, egy egyedi megoldást, és ezt a megoldást nem találnak a képletek: xi = Di / D, ahol D = det A, és a Di - determinánsát kapott mátrix mátrix rendszer helyettesítő edik oszlopból ingyenes tagok bi .
Rank Mátrix - a legnagyobb nagyságrendű nullától különböző kisebb.
Kisebb mátrixok rend s az a meghatározó a mátrix kialakított elemeinek az eredeti mátrix kereszteződésénél található bármely kiválasztott sorokat s és s oszlopok. A mátrix a rend r m'n Minor érdekében úgynevezett alap. ha nem nulla, és valamennyi kiskorú rendelni r + 1, és a fenti nulla, vagy nem létezik egyáltalán, azaz R egybeesik a kisebb számok m és n. A sorok és oszlopok a mátrix, amelyen van egy alapja c-moll, más néven az alap. A mátrix lehet több különböző alapvető kiskorúak, amelynek ugyanabban a sorrendben.
Definíció. Az, hogy a mátrix alapján kisebb nevezzük a rangot a mátrix és jelöljük Rg A.
Egy nagyon fontos jellemzője, hogy egy mátrixot, hogy nem változtatják meg a rangot egy mátrix.
Definíció. A mátrixokkal, amelyeket elemi transzformáció úgynevezett egyenértékű.
Meg kell jegyezni, chtoravnye mátrix és az azzal egyenértékű mátrix - a koncepció teljesen más.
Teorema.Naibolshee száma lineárisan független oszlopok a mátrixban egyenlő a száma lineárisan független sorok.
mert elemi transzformációk nem változtatják meg a rangját a mátrix, akkor lehet, hogy egyszerűsítse a folyamat találni a mátrix rangja.
Példa. Határozza meg a rangot egy mátrix.
Ha elemi transzformációk nem talál egy mátrix megegyezik az eredetivel, de a kisebb rangot mátrix megállapítást kell kezdeni, hogy kiszámítjuk a kiskorúak lehető legmagasabb sorrendben. A fenti példában - a kiskorúak érdekében 3. Ha legalább egyikük nem nulla, akkor a rangot a mátrix megegyezik a sorrendben a kisebb.