Közös, összeegyeztethetetlen slough

Egy rendszerről elmondható, hogy együttműködő, vagy dönthető, ha legalább egy megoldás létezik. A rendszert inkompatibilisnek vagy oldhatatlannak hívják. ha nincs megoldása.

Egy határozott, határozatlan SLAU.

Ha az SLAU megoldást talál, és az egyetlen, akkor a definíciónak nevezik, és ha a megoldás nem egyedi, akkor meghatározatlan.

A mátrixok lehetővé teszik számunkra, hogy röviden írjuk le a lineáris egyenletek rendszerét. Adjunk egy 3 egyenletet három ismeretlen rendszerrel:

Tekintsük a rendszer mátrixát és az ismeretlen és szabad kifejezések mátrixoszlopát

azaz a termék eredményeképpen megkapjuk az adott rendszer egyenleteinek bal oldalát. Ezután a mátrix egyenlőségének meghatározásával az adott rendszer formában írható

Itt ismeretesek az A és B mátrixok, és az X mátrix ismeretlen. Azt is meg kell találni, tk. elemei ennek a rendszernek a megoldásai. Ezt az egyenletet mátrixegyenletnek nevezzük.

Hagyja, hogy a mátrix meghatározója nem nulla | A | ≠ 0. Ezután a mátrixegyenletet a következőképpen oldjuk meg. Az egyenlet mindkét oldalát balról az A -1 mátrixból szaporítjuk. az A. mátrix inverze. Mivel A -1 A = E és E # 8729; X = X, akkor megkapjuk a mátrixegyenlet megoldását X = A -1B formában.

Megjegyezzük, hogy mivel az inverz mátrix csak négyzetes mátrixokra vonatkozik, csak azok a rendszerek tartoznak, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, megoldható a mátrix módszerrel.

A Cramer módszer az, hogy egymás után megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját. azaz az A mátrix meghatározó tényezője D = det (ai j) és n segédinduktorok D i (i =), amelyek a determináns D-ből származnak, és az i-edik oszlopot a szabad terminusok oszlopával helyettesítik.

Cramer képletei a következőképpen alakulnak: D × x i = D i (i =).

Ez magában foglalja a Cramer szabályát, amely kimerítő választ ad a rendszerkompatibilitás kérdésére: ha a rendszer legfontosabb determinánsa nemzero, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, amit a következő képletek határozzák meg: x i = D i / D

Ha a D rendszer fő meghatározója és a D i = 0 (i =) összes segéd determinánsa, akkor a rendszer végtelen számú megoldást tartalmaz. Ha a rendszer fődeterminátuma D = 0, és legalább egy segéddetermináns eltér a nullától, akkor a rendszer összeegyeztethetetlen.

Tétel (Cramér szabály): Ha a rendszer meghatározója # 916; ≠ 0, akkor a vizsgált rendszer egy és egyetlen megoldást tartalmaz, és

Bizonyítás: Tehát három egyenlet három függvényt tartalmazó rendszerét tekintjük. A rendszer i. Egyenletét megszorozzuk az a11 elem A11 algebrai kiegészítőjével. A második egyenlet az A21 és a harmadik az A31 esetében:

Tegyük össze ezeket az egyenleteket:

Mindegyik zárójelet és a jobb oldali oldalt tekintjük. A determinánst az 1. oszlop elemei által történő terjeszkedéssel tételezve.

Ezután vegyük figyelembe az x2:

Hasonlóképpen megmutatható, hogy és.

Végül könnyű látni ezt

Így megkapjuk az egyenlőséget :. Következésképpen ,.

Hasonlóképpen az egyenleteket és a. ahonnan következik a tétel állítása.

A Kronecker-Capelli tétel.

A lineáris egyenletek rendszere csak akkor és csak akkor kompatibilis, ha a rendszer mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával.

Bizonyítás: Két szakaszra bomlik.

1. Hagyja, hogy a rendszer megoldást találjon. Ezt meg fogjuk mutatni.

Hagyja, hogy a számkészlet a rendszer megoldása legyen. Jelölje meg a mátrix th oszlopát. . Aztán. azaz a szabad kifejezések oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Hadd legyen. Tegyük fel. Aztán fel. Kisebb bázist választunk. Rendje van. A szabad kifejezések oszlopának át kell haladnia a kiskorúakon, különben a mátrix alapmelléje lesz. A kollégában lévő szabad kifejezések oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. A meghatározó tulajdonságaival. ahol a determináns, amelyet a kiskorból szereztek be, a szabad kifejezések oszlopának egy oszlopba való felváltásával. Ha az oszlop áthalad a kicsi M-en, majd c. két azonos oszlop lesz, és ennek következtében. Ha az oszlop nem halad át kiskorúon. akkor az oszlopok sorrendjében különbözni fog a r + 1 mátrix kiskorújától. Tehát hogyan. akkor. Így. amely ellentmond az alapmellék meghatározásának. Ezért a feltételezés, hogy. helytelen.

2. Tegyük fel, hogy. Megmutatjuk, hogy a rendszer megoldást kínál. Tehát hogyan. akkor a mátrix alapvonala a mátrix alapmelléje. Hagyja, hogy az oszlopok átmenjenek a kiskorúon. Ezután a mátrixon alapuló mágneses tétel szerint a szabad kifejezések oszlopa a jelzett oszlopok lineáris kombinációja:

Tegyük fel. . . . A fennmaradó ismeretlenek nullának tekintendők. Majd ezeket az értékeket kapjuk

Az (1) alapján. Az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy a számhalmaz a rendszer megoldása. Meggyőződött a megoldás létezéséről.

A fent tárgyalt rendszerben. és a rendszer megosztott. A rendszerben. . és a rendszer ellentmondásos.

Megjegyzés: Habár a Kronecker-Capelli tétel lehetővé teszi annak megállapítását, hogy egy rendszer kooperatív-e, nagyon ritkán alkalmazzák, elsősorban elméleti tanulmányokban. Ennek az az oka, hogy a mátrix rangjának megtalálásakor elvégzett számítások lényegében megegyeznek a rendszer megoldásának megtalálásakor alkalmazott számításokkal. Ezért általában nem talál és. megoldást keresnek a rendszerre. Ha megtalálható, akkor megtudjuk, hogy a rendszer kompatibilis és egyidejűleg megoldást találunk. Ha a megoldás nem található, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer nem kompatibilis.

Egy algoritmus egy tetszőleges lineáris egyenletrendszer (a Gauss-módszer)

Adjunk egy olyan lineáris egyenletrendszert, amely nem ismert. Meg kell találnia az általános megoldását, ha közös, vagy össze nem állítja. Az ebben a részben tárgyalt módszer közel áll a meghatározó számítási módszerhez és a mátrix rangjának megállapításához. A javasolt algoritmus a Gauss-módszer vagy az ismeretlenek egymást követő megszüntetésének módja.

Kiírjuk a rendszer kiterjesztett mátrixát

Alapvető műveleteknek nevezzük az alábbi műveleteket mátrixokkal:

1. vonalak permutációja;

2. Szöveg szorzása nullától eltérő számmal;

3. sor hozzáadása egy másik húrral, szorozva egy számmal.

Megjegyezzük, hogy az egyenletek rendszerének megoldásakor, ellentétben a meghatározó számításával és a ranglétrával, az oszlopokkal nem tudunk működni. Ha az elemi műveletből nyert mátrixból az egyenletek rendszerét rekonstruáljuk, akkor az új rendszer egyenértékű lesz az eredetiel.

Az algoritmus célja az elemi műveletek sorozatának a mátrixra történő alkalmazása, hogy minden egyes vonal, kivéve talán az elsőt, nullával kezdődik, és az egymást követő sorokban lévő nullák száma az első nemzero elemhez képest nagyobb, mint az előző.

Az algoritmus lépése a következő. Megtaláljuk az első nem-nulla oszlopot a mátrixban. Legyen egy oszlop egy számmal. Nem nulla elemet találunk, és az első sorral megváltoztatjuk a sor ezzel az elemével. Annak érdekében, hogy ne töltsön fel további jelölést, feltételezzük, hogy a sorok ilyen változása a mátrixban már megtörtént. Ezután a második sorhoz hozzáadjuk az első számot, megszorozva a számmal. a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első számot, megszorozzuk. és így tovább. Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixot

(Az első nulla oszlopok, mint általában, hiányoznak.)

Ha a mátrixban van egy vonal a k számmal, amelyben minden elem nulla, a. akkor az algoritmus leáll, és arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer összeegyeztethetetlen. Valójában, az egyenletrendszer rekonstruálásánál a kiterjesztett mátrixban azt kapjuk, hogy a -th-egyenlet formája

Ez az egyenlet nem teljesíti a számok bármelyikét.

A mátrix formában írható

A mátrixra vonatkozóan az algoritmus leírt lépését végezzük. Megkapjuk a mátrixot

hol. . Ez a mátrix újra formában írható

és a fent leírt algoritmus algoritmusa újra felvihető a mátrixra.

A folyamat leáll, ha a következő lépés végrehajtása után az új csökkentett mátrix egy nullából áll, vagy ha minden sorban kimerültek. Vegyük észre, hogy a rendszer összeegyeztethetetlenségével kapcsolatos következtetés még korábban is leállította a folyamatot.

Ha nem csökkentettük a mátrixot, végül megérkeztünk a formanyomtatvány mátrixára

Ezenkívül a Gauss-módszer ún. A mátrixból egy egyenletrendszert alkotunk. A bal oldalon az ismeretleneket az egyes sorokban lévő első nem nulla elemekhez tartozó számokkal hagyjuk. Ne feledje, hogy. A fennmaradó ismeretleneket a jobb oldalra továbbítjuk. Feltéve, hogy a jobb oldali ismeretlenek bizonyos fix mennyiségek, könnyű kifejezni őket a bal oldali ismeretlenek.

Most, hogy az ismeretleneket a jobb oldali önkényes értékekkel és a bal oldali változók értékeinek kiszámításával adjuk meg, megtaláljuk az eredeti Ax = b rendszer különböző megoldásait. Az általános megoldás leírása érdekében az ismeretleneket a jobb oldalon, bizonyos sorrendben betűkkel kell megjelölni. beleértve azokat az ismeretleneket is, amelyekről a nullenkénti együtthatók miatt nincsenek kifejezetten a jobb oldalon írva, majd az ismeretlenek oszlopa oszlop formájában írható, ahol minden egyes elem tetszőleges mennyiségek (különösen egyszerű mennyiség) lineáris kombinációja. Ez a bejegyzés a rendszer általános megoldása.

Ha a rendszer homogén, akkor a homogén rendszer általános megoldását kapjuk. Az együtthatók a. amelyet az általános megoldás oszlopának minden egyes eleme tartalmaz, az első megoldást képezi az alapvető megoldási rendszerből, a második megoldás stb. koefficienseihez.

2. módszer: Egy homogén rendszer megoldásának alapvető rendszere más módon is megszerezhető. Ehhez egy jobb oldalra áthelyezett változót 1-es értékhez kell rendelni, a többi pedig nullához kell rendelni. A változók értékeinek bal oldali számításával egy megoldást kapunk az alapvető rendszerből. Ha egy másik változót hozzárendel az 1-es értékhez, a többi pedig nullához, akkor a második megoldást kapjuk az alapvető rendszerből stb.

Definíció: A rendszer közösen szól, ha legalább egy megoldása van, és összeegyeztethetetlen - egyébként, azaz amikor a rendszernek nincs megoldása. Az a kérdés, hogy a rendszer rendelkezik-e megoldással vagy sem, nemcsak az egyenletek számának és az ismeretlenek számának arányához kötődik. Például három egyenlet két ismeretlen rendszerrel

van megoldás. és végtelenül sok megoldás is létezik, és két egyenlet három ismeretlen rendszerrel rendelkezik

nincs megoldása, vagyis összeegyeztethetetlen.

Meghatározás: Egy lineáris egyenletrendszer egy expandált mátrixát mátrixnak nevezik. amely különbözik a rendszer mátrixától a szabad terminusok további oszlopának jelenlétével:

Következmény: A kiterjesztett mátrix rangja vagy egyenlő az A rendszer mátrixának rangjában, vagy nagyobb, mint egyenként.

Bizonyítás: Mivel az A lineárisan független oszloprendszere a mátrix oszlopainak lineárisan független rendszere. majd a 14.26-os javaslattal (a mátrix rangja megegyezik annak oszlopainak maximális számával, amelyek lineárisan független rendszert alkotnak).

Hadd legyen. Tegyük fel. . Ezután a mátrixban lineárisan független r + k oszlopok vannak. Ezen oszlopok között csak olyan lehet, amely nem tartozik az A. mátrixhoz. Az A. mátrixhoz tartozó fennmaradó r + k-1 oszlopok alrendszere lineárisan független. Következésképpen ,. Összefüggést kaptunk. Az a feltételezés, hogy k> 1 hamis.

Négyzetrendű, nem degenerált mátrix.

A rendszert négyzetesnek nevezzük. ha egyenleteinek m száma egyenlő az ismeretlen számok n számával, vagyis, ha az A mátrix négyzetes mátrix.

Solution SLAU: Engedje meg a SLAU-nak

Ez a rendszer mindig konzisztens, mert a triviális megoldás x1 = ... = xn = 0

A nem triviális megoldások létezéséhez szükséges és elégséges

A feltételek r = r (A)

Th A SLAU megoldásainak halmaza a dimenzió lineáris térségét (n-r) képezi. Ez azt jelenti, hogy a megoldás terméke egy számmal, valamint egy véges számú megoldás összegével és lineáris kombinációjával a rendszer megoldásai. Az SLAE megoldásainak lineáris területe az Rn szubtérije.

Az SLAE (n-r) lineárisan független megoldásait (amelyek a megoldási térben alapulnak) sorolják alapvető megoldásoknak (FSS).

Legyen x1, ..., xr alapvető ismeretlen, xr + 1, ..., xn szabad ismeretlen. Változó változókat adunk az alábbiak szerint:

Miután meghatároztuk az alapváltozók értékeit, amelyek megfelelnek az egyes változók értékeinek, kapunk megoldásokat:

Az így kialakított egyenletrendszerek megoldási rendszerét a normál alapvető megoldásoknak nevezzük.

Tétel. Az egyenletek egységes homogén rendszerének összes megoldása

Egy lineáris tér S (a megoldás tér), amely az Rn alrendszere (n az ismeretlen számok száma), és dims = k = n-r, ahol r a rendszer rangja. A megoldások térben alapot jelent a megoldások alapvető rendszere, és az általános megoldásnak az a formája: