Az algebrai problémák összegyűjtése
LINEÁRI KÖZÖSSÉGEK ÉS KÖZVETÍTÉSEK
§ 3 Lineáris funkciók és grafikonjuk
Az x betű minden értékére az egyenlőség az y betű egy teljesen meghatározott értékét társítja. Ha például x = 0, akkor y = 2 • 0 + 1 = 1; ha x = 10, akkor y = 2 • 10 + 1 = 21; x = - 1/2 esetén y = 2 • (- 1/2) + 1 = 0, stb. Vegyünk egy másik egyenletre:
Minden x értéke esetén az egyenlőség, mint az egyenlőség (1), egy teljesen meghatározott y értéket társít. Ha például x = 2, akkor y = 4; x = - 3 esetén kapunk y = 9, stb. Az (1) és (2) egyenletek egymáshoz kapcsolják a két x és y mennyiséget úgy, hogy egyikük (x) értékeinek értéke egy másik érték ( y).
Ha minden egyes x értéke megegyezik egy teljesen meghatározott y értékkel. akkor ezt az y mennyiséget x-nek nevezzük. Az x mennyiség az y függvény argumentuma.
Így az (1) és (2) képletek az x argumentum két különböző funkcióját definiálják.
Az argumentum függvénye x. formában van
ahol a és b bizonyos megadott számok, lineárisnak nevezzük. Egy lineáris függvény egyik példája a következő funkciók bármelyike lehet:
Mint a VIII. Osztály menetéről ismert, az y = ax + b függvény görbéje egy egyenes vonal. Ezért ezt a függvényt lineárisnak hívják.
Emlékezzünk arra, hogy az y = ax + b lineáris függvény grafikonja hogyan épül fel.
1. Az y = b függvény grafikonja. Ha a = 0, az y = ax + b lineáris függvény y = b formában van. A grafikon egy egyenes vonal, amely párhuzamos az x-tengellyel, és az y-tengely metszéspontján a koordinátával b. Az 1. ábrán látható az y = 2 (b> 0) függvény grafikonja, és a 2. ábrán az y = - 1 (b <0).
Ha nem csak a. de b értéke is nulla, akkor az y = ax + b függvény y = 0. A grafikon ebben az esetben egybeesik az x tengellyel (3. ábra)
2. Az y = ax függvény grafikonja. A b = 0 esetén az y = ax + b lineáris függvény y = ax formájú.
Ha a = / = 0, akkor a grafikon egy egyenes vonal, amely áthalad az eredeten és az x tengelyre ferde, szögben φ. amelynek érintője megegyezik egy (4. Az y = ax egyenes megépítéséhez elegendő találni az egyik pontját, amely eltér a származástól. Például az y = axx = 1 egyenletben az y = a értéket kapjuk. Ennek következtében az M pont a koordinátákkal (1; a) a mi egyenes vonalán fekszik (4. ábra). Most rajzolunk egyenes vonalat a származáson és az M ponton, megkapjuk a kívánt vonalat y = ax.
Az 5. ábrán például az y = 2x (a> 0) egyenes vonalat húzunk, és a 6. ábrán az y = - x (a <0).
Legyen b> 0. Ezután az y = ax + b egyenes vonalat az y = ax egyenes párhuzamos eltolásával, b egységgel felfelé állítjuk be. Példaként a 7. ábra az y = x / 2 + 3 egyenes szerkezetét mutatja.
Ha b <0, то прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на — b единиц вниз. В качестве примера на рисунке 8 показано построение прямой у = x /2 — 3
Az y = ax + b egyenes vonal más módon is kialakítható.
Minden egyenes vonalat két pont határozza meg teljesen. Ezért az y = ax + b függvény grafikájának megépítéséhez elegendő megtalálni a két pontját, majd rajzolni egyenes vonalat rajta. Ezt a y = -2x + 3 függvény példájával magyarázzuk.
X = 0, y = 3, és x = 1, y = 1. Ezért két pont: M koordinátákkal (0; 3) és N koordinátákkal (1; 1) fekszenek egyenes vonalunkon. Miután ezeket a pontokat a koordináták síkjára jelöltük, és egy egyenes vonalat (9. Ábra) kombinálva megkapjuk az y = - 2x + 3 függvény grafikonját.
Az M és N pont helyett természetesen a másik két pontot is megtehetjük. Például az x értékeknél nem lehet 0-t és 1-t választani, mint fent, de - 1 és 2.5. Aztán y esetén az 5. és a 2. értékeket kapjuk, az M és N pontok helyett P koordinátákkal (-1; 5) és Q koordinátákkal (2.5; -2) rendelkezünk. Ez a két pont, valamint az M és N pontok teljesen meghatározzák az y = - 2x + 3 kívánt vonalat.
15. Ugyanabban az ábrán ábrázolja a funkciókat:
Ezek a grafikonok metszenek a koordinátatengelyekkel? Ha metszi, adja meg a keresztezési pontok koordinátáit.
16. Egy és ugyanazon alakban ábrázolja a funkciókat:
17. Ugyanezen ábrán ábrázolja a funkciókat:
A fenti függvények grafikonjait (18-21.), És határozzuk meg ezeknek a gráfoknak a koordinátarendszerének koordinátáit.
22. Hozz létre egy függvénygrafikont
e grafikon segítségével megtudhatja: a) milyen xy = 0 értékek;
b) milyen x értékek az y negatív értékei és amelyek pozitívak;
c) milyen x értékek esetén az x és y mennyiségeknek azonos jelei vannak?
d) milyen x értékek esetén az x és y mennyiségek különböző jelekkel rendelkeznek.
23. Írja be a 10. és 11. ábrán látható vonalak egyenleteit.
24. Az ismert fizikai törvények melyikét írják le lineáris függvények?
25. Hogyan készítsük el az y = - (ax + b) függvény grafikáját, ha az y = ax + b függvény grafikonját megadjuk?
UCoz technológiát alkalmaznak