13. előadás

előző ◈ a következő

Egy adott ponton áthaladó sík egyenlete merőleges az adott irányra

Áthaladó sík egy adott ponton M0 (x0. Y0. Z0) merőleges az előre meghatározott irány a pontok helye az összes vektor, amelynek kezdő és merőleges a vektor M0. Legyen M (x, y, z) a sík tetszőleges pontja. Ebben az esetben

A feltétele merőlegességi a két vektor, megkapjuk vagy A · (x - x0) + B · (y - y0) + C · (z - z0) = 0. kiterjesztése konzolok és hogy ezeket, kapunk egy · x + B · y + C · Z + D = 0., ahol D = - A · x0 - B · Y0 - C · z0.
Így A x + B y y + C · z + D = 0 a sík általános egyenlete. A sík egyenletéből és a probléma megállapításából az A, B, C együtthatók geometriai jelentése a vektor merőleges sík koordinátái.

Egy sík egyenlete három ponton halad át

Egy sík egyenlete a tengelyek szegmenseiben

Hagyja, hogy a sík metszi a koordináta tengelyeit (a, 0, 0) (0, b. 0) (0,0, c). Az egyenlet létrehozásához egy adott sík egyenletét használjuk három ponton :. Bővítése a meghatározó, azt kapjuk, (x - a) · B · c - y · (- a · c) + Z · (a • b) = 0, vagy X · B · c + y · egy · c + z · a · b = a · b · c.
Végül megkapjuk a sík egyenletét a formában. Példa Példa. Adja meg a sík 3 · x-2 · y + 5 · z-15 = 0 általános egyenletét a tengelyek szegmenseinek formájához.
R e w n e gyors előre -. 15 a jobb oldalon, és elosztjuk ezt Terminusonként száma jobb és bal oldalán a sík egyenlet 3 · x - 2 · y + 5 · Z = 15, ↔ ↔.

Keresztező síkok közötti szög

Tegyük fel, hogy két sík A1 · x + B1 · y + C1 · Z + D1 = 0, és A2 · x + B2 · y + C2 · Z + D2 = 0. Ha ezek átfedik egymást, a szög a síkok közötti meghatározott szöget közötti normálvektorok ezek a repülőgépek. A szög a normál vektorok által meghatározott skalár szorzata a koordináta formájában. , ahol u a síkok normál vektorai.
Azokat a vonalakat, amelyek mentén a sík metszi a koordináta síkokat, nyomoknak nevezik. Ha a síkok párhuzamosak, akkor a síkok normál vektorai is párhuzamosak. Normál vektorok N1 és N2 síkok kollinearitást állapotban (koordináta vektorok arányos), Ez lesz a feltétele a párhuzamosság a két sík.
Ha a síkok merőlegesek, akkor a síkok normál vektorai merőlegesek. A feltétele merőlegességi vektorok koordináta formájában, megkapjuk a feltétele merőlegességi a síkok A1 · A2 + B1 · B2 + C1 · C2 = 0.

A repülőgépek űrben történő elrendezésének különös esetei

  1. 1. A · x + B · y + D = 0 az ó tengelyével párhuzamos sík egyenlete. Az XY koordináta síkján a sík egyenlete a nyomvonal egyenlete.
  2. A · x + C · z + D = 0 az OY tengelyével párhuzamos sík egyenlete. Az OXZ koordináta síkján a sík egyenlete a nyomvonal egyenlete.
  3. B · y + C · z + D = 0 - a sík párhuzamos az OX tengellyel. A koordináta síkon az OYZ a nyomvonal egyenlete.
  4. A · x + B · y + C · z = 0 - a sík áthalad az eredeten; x = 0, y = 0, z = 0 kielégíti a sík egyenletét, és a sík összes nyomvonala áthalad a származáson.
Egy példa. Tekintsünk két síkban 2 · x + 3 · y + 6 = 0 4 · x + 8 · Z - 12 = 0. Construct síkban, és hogy megtalálják a metszésvonala ezek a síkok Megjegyzés: a vonal a két síkja egymást metszi áthaladó metszéspontja a megfelelő pályák.

Távolság a ponttól a síkig

Tegyük fel, hogy az A · x + B · y + C · z + D = 0 sík és az M0 pont (x0, y0, z0) van megadva. Mivel M0 pont (X0. Y0. Z0) nem fekszik a gépen, akkor A · X0 + B · y0 + C · Z0 + D = # 945; ≠ 0. Egy tetszőleges M (x, y, z) pontot választunk a síkon. Ebben az esetben, van egy · x + B · y + C · Z + D = 0. kivonva a második az első kapcsolatban, azt kapjuk, A · (x - x0) + B · (y - y0) + C · (z - z0) = # 945; Az utolsó kapcsolat a sík normál vektorának és az M0 M koordinátarendszer vektorának skaláris terméke. A skaláris termék definíciójával vagyunk. Vagy végül

Problémák megoldása a síkban a MAPLE csomagban

> Újraindítás: a (geom3d): pont (M0, -6,5,5): pont (M1, -2,0, -4) pont (M2, -1,7,1) pontja (M3,4 , -8, -4): sík (p, [M1, M2, M3]): egyenlet (p, [x, y, z]); # 150; a három adott ponton áthaladó sík egyenlete> távolság (M0, p); # 150; távolság egy ponttól egy síkig>> (A, 0,0,0) pont: n: = vektor ([0,4, -3]); sík (p, [A, n]); Egyenlet (p, [x, y, z]); # 150; egy adott ponton áthaladó sík egyenlete merőleges az adott irányra. 4y-3z = 0

Kérdések önvizsgálatra

  1. Mi a repülőgép általános egyenlete az űrben?
  2. Milyen általános egyenlet az Ox tengelyével párhuzamos sík?
  3. Milyen általános egyenlet az Oy tengelyével párhuzamos sík?
  4. Milyen általános egyenlet az Oz tengellyel párhuzamos sík?
  5. Mi a sajátossága annak, hogy egy sík egyenletesen halad át a származáson?
  6. Mi a nyomvonala a gépnek?
  7. Hogyan készítsünk két sík metszéspontját az űrben?
  8. Hogyan találjuk meg a síkra merőleges vektor koordinátáit a sík egyenletéből?

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő