Ricci flow

Ricci áramlási egyenlet:

ahol g t> jelentése egy paraméteres családja Riemann-metrikát egy komplett gyűjtőcső (attól függően, hogy a valós paraméter t), és R c t _> - annak Ricci tenzor.

Formálisan az egyenletrendszert R. Ricci által meghatározott áramlási, nem egy parabolikus egyenlet. Mindazonáltal van egy parabola rendszer R „egyenletek. Deturkom javasolt. oly módon, hogy ha G 0> Riemann-metrikát egy kompakt osztó M és G t>. g t '> - megoldására rendszerek R és R'. majd (M. g t))> izometrikus (M. g t ')')> minden t.
- Ez a kialakítás nagyban egyszerűsíti igazolás megléte a megoldást, hogy az úgynevezett „trükk Deturka”.
Hasonlóképpen a hő egyenlet (és egyéb parabolikus egyenletek) megadásával tetszőleges kezdeti feltételeket a t = 0. akkor kap egy döntés egyik módja annak, hogy t. nevezetesen, t ⩾ 0.
Ellentétben hőegyenletre, Ricci folyam általában nem haladnak át a végtelenségig t → ∞. Az oldatot továbbra is a maximális intervallumban [0. T). Ha T véges, ahogy közeledünk a görbület T végtelenhez tart, és a döntés alakult a szingularitás. Ez a tanulmány a szingularitás, ahol összeér a Ricci áramlás, valamint a bizonyítás Thurston-sejtés-ben alakult.
Pseudolocal - ha néhány környékén a kezdeti pillanatban úgy néz ki, mintha egy darab euklideszi térben, akkor ez a tulajdonság marad egy bizonyos ideig a Ricci áramlás kisebb környéken.

Megváltoztatása geometriai jellemzőinek

A mennyiség voltos _> metrikus GT> igaz reláció ∂ ∂ t (dvolt) = -. R t ⋅ (dvolt)> (\ mathrm \, \ mathrm _) = - \ mathrm _ \ cdot (\ mathrm \, \ mathrm _ ).>
A skalárgörbületét R t _> metrikus g t> igaz reláció ∂ ∂ t R t = △ t R t + | R c t | 2> \ mathrm _ = \ háromszög _ \ mathrm _ + | \ mathrm _ | ^>

ahol | R c t | 2 _ | ^> definiáljuk Σ i. j (R c (e i. e j)) 2 (\ mathrm (E_, e _)) ^> egy ortonormált frame \ >> pontban.

Különösen szerint a maximum elv Ricci áramlás megőrzi pozitív skalárgörbületét.
Ezen túlmenően, az alsó határ a skalárgörbületét nem csökken.

Minden egyes g 0> ortonormált frame \ >> egy pont x ∈ M van egy úgynevezett fedezet g t> jelentése egy ortonormáiis frame ^ \ >>. A görbületi tenzor R m t _>. rögzített ezen az alapon, jobb kapcsolatban ∂ ∂ t R mt = △ tR mt + Q (R m t. R MT).> \ mathrm _ = \ háromszög _ \ mathrm _ + Q (\ mathrm _, \ mathrm _) >

ahol Q - meghatározott bilineáris kvadratikus alak a tér tenzorok görbületi és az értékeket az ott.

Bilineáris kvadratikus alak Q meghatároz egy vektor mező a vektor tér tenzorok görbületi - egyes görbületi tenzor x tulajdonítható másik görbületi tenzor Q v X = (x x.) = Q (x, x)>. ODE megoldások

x ˙ = v x> = V_> fontos szerepet játszanak az elmélet a Ricci áramlását.

Konvex halmazok K a tér tenzorok görbületi, invariáns forgatás és úgy, hogy ha a fenti ODE x (0) ∈ K. akkor x (t) ∈ K t ≥ 0. úgynevezett invariáns a Ricci áramlását. Ha a görbület a Riemann metrika egy zárt sokrétű minden ponton tartozik a K. az is igaz, hogy a mutatók belőle származik a Ricci áramlását. Az érvek Az ilyen úgynevezett „maximum-elv” a Ricci áramlását.

Invariáns halmazok

Görbület tenzorok pozitív skalárgörbületét
Görbület tenzorok pozitív görbület üzemben
A háromdimenziós esetben a görbület tenzorok pozitív görbület Ricci

A dimenziója 3

Abban az esetben, ha a tér dimenziója egyenlő 3, az egyes X és T lehetséges, hogy vegye fel a keret ^ \ >>. ahol R m t _> diagonalizálható alapján 1 e ∧ e 2 \ ék E_>. e 2 e 3 ∧ \ ék E_>. e 3 e 1 ∧ \ ék E_>. mondjuk,

Q (R m. R m) = (λ 2 ⋅ μ + ν 0 0 0 μ 2 + ν ⋅ λ 0 0 0 ν 2 + λ ⋅ μ). , \ Mathrm) = \ lambda ^ + \ mu \ cdot \ nu 00 \\ 0 \ mu ^ + \ nu \ cdot \ lambda 0 \\ 00 \ nu ^ + \ lambda \ cdot \ mu \ end>.>

Az elején a tanulmány a Ricci áramlási kezdeményezte Hamilton az 1980-x. Segítségével a Ricci áramlását sima elmélet területén már bizonyított.

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő