Az alkalmazás módja A konjugátum irányok Powell

A módszer középpontjában a problémák megoldására másodfokú célfüggvény és alapjául az alapvető elméleti eredményeket. Bár használt valós helyzetekben, az algoritmusok hatásosak másodfokú objektív funkciók nem működnek jól a bonyolultabb célfüggvény, ez a megközelítés azonban úgy tűnik, hogy teljesen ésszerű.

Definíció. enged

- szimmetrikus mátrix a rend. vektorokhívott- konjugált ha lineárisan függetlenek, és a feltétela.

Példa. Tekintsük az

.

a sablon

akkor megteszi a hesseni mátrix

.

Mint az egyik irányba úgy döntünk

. Aztán iránymeg kell felelniük az egyenlőség

.

Meg kell jegyezni, hogy a konjugátum választott irányban egyértelmű. Azonban, ha hozzáadjuk a normalizációs feltételt, akkor lehet egyértelműen definiálva:

.

Jóváhagyása. Bármilyen másodfokú függvény

változók, amely legalább minimalizálhatólépéseket, feltéve, hogy a keresési mentén végezzük konjugált irányok képest kitűnő Hesse.

Egy tetszőleges függvény lehet kellőképpen képviselve a környezetében optimális pont a kvadratikus közelítéssel. Tehát a konjugátum irányba hasznos lehet annak optimalizálás. De ez több, mint

lépéseket. Annak megállapításához, a konjugátum irányokat módszer alkalmazása alapján az alábbi állítást.

Jóváhagyása. Adott egy másodfokú függvény

, két pontés napravlenieS..Esli pont Ez egy minimális funkciómentén napravleniyaSiz pont , és- minimum pont a függvény mentén napravleniyaSiz pont , az iránytEz magában foglalja napravleniemS.

1. lépés: a kiindulási pont

és a rendszer lineárisan független irányban (Eredetileg egybeeshet irányban a koordinátatengelyek). minimalizálása funkció szekvenciális mozgása irányban; egy egydimenziós keresés; és az előzőleg kapott minimális pont tekintettük a kezdeti egy.

2. lépés: Futtassa az extra lépés

, megfelelő teljes elmozdulás az 1. lépésben Számítsuk pont(12. ábra). Ellenőrizze kritériumok (*), mely egy új irányt a rendszerben konjugált irányok.

3. lépés: Legyen

- a legnagyobb csökkenés a célfüggvény az egyik irányban:

és

a megfelelő irányban a.

Ha a feltételek

(*)

A keresés folytatásához mentén az eredeti irányban

egy pontvagy(A pont, ahol az alacsonyabb érték a funkció).

4. lépés: Ha a feltételek

nem teljesülnek, akkor minimalizálja a függvényaz irányt. Ez a minimális pontot hozott, mint a kezdet a következő lépésben. Ebben a szakaszban, használja az áttételi rendszer

,

azaz irány

helyébe, amely bekerül utolsó oszlopában az elrendezési irányban.

5. lépés: Ha

, A minimális megtalálható. Ellenkező esetben folytassa az 1. lépéssel.

Példa. Az ikonra kattintva, hogy megnyitja a Mathcad dokumentum módszer konjugált irányok, amelyekben a számítások elvégzésére.

Eljárás konjugált irányok

Úgy tűnhet, irracionális, hogy elutasítja a legsikeresebb iránya az aktuális iteráció és új ígéretes tendencia az utolsó helyen, hanem az első. Mégis könnyen belátható, hogy a legsikeresebb trend valószínűleg kimerítette magát, és egy új, ígéretes irány nemrég használt egydimenziós optimalizálása és alkalmazni, hogy azonnal, nincs értelme, hiszen a promóciós egyszerűen lenni.

Powell bebizonyította, hogy a determináns a mátrix területek maximális, ha, és csak akkor, ha az irányt

,konjugátum tekintetében a hesseni mátrix. Ő arra a következtetésre jutott, hogy az irányt a teljes utazási ki kell cserélni az előző csak akkor növeli a meghatározója az irányt a tömb irányba, mert csak akkor egy sor új irányok, hogy hatékony legyen.

Ez azt bizonyítja, hogy a Powell eljárás konvergál a pont, ahol a gradiens nulla, ha az objektív függvény szigorúan konvex. Ez a pont egy lokális minimum. A módszer nagyon érzékeny a megépítésére szolgáló eljárásra konjugált irányok és ezért függ a pontosság egydimenziós keresés használatos. Powell használatát javasolták sorozata másodfokú interpolációs speciális beállítások a sor keresési eljárást. Azonban numerikus vizsgálatok kimutatták, hogy a módszer a konjugátum irányok Powell nem szabad használni, amikor a dimenziója több mint 20.