Monotone szekvencia 1
A szekvencia az úgynevezett nem csökkenő (nem-növekvő) ha, minden n egyenlőtlenség.
Ha szigorú egyenlőtlenségeket. A szekvencia azt mondják, hogy növekvő (csökkenő). Csökken, növekszik, nem csökkenő és nem-növekvő sorozat úgynevezett monoton.
Monoton szekvenciákat korlátozódik sem a felső vagy alsó. Nevezetesen, egy nem-növekvő sorozat korlátos fenti (az első elem x1), és alulról korlátos sorozata által nem csökkenő (szintén eleme x1).
Ha nem növekvő sorrendben korlátos alulról és még akkor is határolja két oldala van. Hasonlóképpen, egy nem csökkenő sorrendben, hogy korlátos fenti, határolt két oldalán.
Ha egy nem csökkenő (nem-növekvő) szekvenciát korlátos fenti (lent) M száma (m). van egy határa. és.
Tekintettel arra, hogy csak még ezt a tételt észrevételt lehet az alábbiak szerint történik: ha egy monoton szekvencia határolja mindkét oldalon, akkor konvergál.
Mi korlátozza a bizonyíték nem csökkenő sorrendben. Megmutatjuk, hogy a határ az ilyen szekvencia szuprémumának.
Mivel - supremum több elem. tudjuk mutatni bármely elemét xN úgyhogy. Összevetjük ezeket az egyenlőtlenségeket, és kap. mert - csökkenő sorrendet, amikor N. Ily módon, amikor az N kielégíti a egyenlőtlenségeket, és mivel. Ezek az egyenlőtlenségek írott formában. azaz . Tehát azt mutatták, hogy a szám - a határ a sorozatot.
Megjegyezzük, hogy a monoton szekvenciák elemében közel állnak az egyik oldalon korlátot. Így egy nem csökkenő sorrendben. akinek határ. minden n egyenlőtlenség. A nem-monoton szekvenciák lehetséges közelítése, hogy a határ mindkét oldalán. Példa volt már:
Nyilvánvalóan. de a jelek az elemek ezt a sorozatot váltakozik.
Velejárója Tétel (elve beágyazott szegmens).
Legyen adott egy végtelen rendszer szegmensek, amelyek mindegyike a következőket tartalmazza az előző évben, azaz . Tegyük fel, a különbség (intervallum hossza) nullához.
Ekkor létezik egy egyedi C pont tartozó minden szegmense a rendszer.
Nyilvánvaló, hogy a szekvenciát a bal végén a szegmensek egy nem csökkenő, és a szekvencia a jobb oldali végéhez - nem növekszik. Mivel mindkét ezeket a szekvenciákat korlátozott (minden eleme szekvenciák és a intervallum), majd mindketten konvergálnak.
Abból a tényből, hogy a különbség arra utal, hogy mind a két szekvencia közös határa S. Aztán világosan. azaz C pont tartozik minden szegmens. Az az állítás bizonyított.
Mielőtt meghatározását e (az alap a természetes logaritmus alapja), amely fontos szerepet játszik a matematika, hadd emlékeztessem önöket a binomiális képlet. Ez az bármilyen természetes erekció binomiális foka n (a + b).
mert . akkor kap a képlet.
Általában, a képlet, amelynek nevét viseli a binomiális tétel:
Alapján Newton binomiális képlet:
Ez azt mutatja, hogy az összes feltételt pozitív, úgy, hogy
Másrészt, cseréje minden konzol egységet, mi növeli a kifejezést, hogy:
Most, vegye figyelembe, hogy
Ha az összes helyettesíthető nevezők. a jobb oldali csak nőni fog.
Így, minden n.
Most megmutatjuk, hogy - növekvő sorrendben.
Összehasonlítva ezeket a kifejezéseket, megjegyezzük, hogy a kifejezés egy pozitív távon nagyobb, mint a kifejezésben. Ezen felül, a második tag a harmadik ciklus
Ily módon minden egyes kifejezés kisebb, mint a megfelelő kifejezést. Szóval azaz szekvencia - növekszik. Mivel korlátozott, ezért konvergál egy határ e. ahol e - irracionális számok - kifejezett végtelenített nem periodikus frakció.