Gauss integrál
Probléma 1. Bizonyítsuk be, hogy akár egy numerikus szorzó $$ \ int \ prod_i dx_i \; e ^ x_j> = (\ det M) ^ $$ (összegzés több mint $ i, j $ implicit), ahol a $ M_ $ - szimmetrikus mátrix minden pozitív sajátértékei. Küldj egy döntés
Probléma 2. Számítsuk ki a szerves $$ \ int \ prod_i (dx_i dx_i ^ *) \: e ^ x_j + \ alpha_i ^ * x_i + x_i ^ * \ alpha_i> $$ ahol $ M_ $ - Hermitian mátrix, $ \ $ alpha_i - összetett paraméterek, és az integráció a komplex változó $ x_i $ külleme $$ \ int dx_i dx_i ^ * F (x, x ^ *) = \ int d (Re \: x) d (Im \: x) F (x , x ^ *). $$ küldése határozat
Probléma 3. Adjuk meg a integrál fermionikus változó $ \ Psi $, $ \ bar $ következőképpen $$ \ int d \ Psi d \ bar = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ Psi = \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar = 0 $$ $$ \ int d \ Psi d \ bar \ cdot \ bar \ Psi = 1 $$ Ezen kívül azt feltételezzük, hogy a változó $ d \ Psi, d \ bar \ Psi, \ bar $ anticommute. Különösen $ \ Psi \ cdot \ Psi = 0 $. Igazoljuk, hogy akár egy numerikus szorzó $$ \ int \ prod_i (d \ Psi_i d \ bar_i) \: e ^ _i M_ \ Psi_j + \ bar_i \ Psi_i + \ bar_i \ alpha_i> = e ^ _i M_ ^ \ alpha_j> \ cdot \ det M $$ ahol $ d \ Psi_i, d \ bar_i \ Psi_i \ bar_i $ anticommute, $ \ alpha_i $, $ \ bar_i $ - paraméterek anticommute mind egymással, mind a $ \ Psi_i \ bar_i $; $ M $ - nem-szinguláris mátrix, $ i, j = 1, \ dots, N $. Megjegyzés: a) Mutassuk meg, hogy az első fermionos integrál invariáns képest eltolódik $ \ Psi_i \ rightarrow \ Psi_i + C_i $, ahol $ C_i $ - anticommutes opciót. b) ellenőrzi, hogy a $$ \ int d \ Psi_N \ pontok d \ Psi_1 d \ bar_N \ pontok d \ bar_1 \ bar_ \ dots \ bar_ \ Psi_ \ dots \ Psi_ = \ varepsilon_ \; \ varepsilon_. $$ küldése határozat