A származék az összetett függvény
A példák ebben a részben alapulnak táblázata származékok és a tétel a származék egy összetett függvény, amelynek összetétele a következő:
Legyen 1) függvény $ u = \ varphi (x) $ van egy bizonyos ponton $ x_0 $ származékot $ u _ '= \ varphi' (x_0) $, 2) a függvény $ y = f (u) $ van a megfelelő pont $ u_0 = \ varphi (x_0) $ származékot $ y _ '= f' (u) $. Ezután az összetett függvény $ y = f \ left (\ varphi (X) \ right) $ a fenti pontban is egy-származékot egyenlő a termék a származékok funkciók $ f (u) $ és $ \ varphi (x) $:
$$ \ balra (F (\ varphi (x)) \ right) '= f _' \ left (\ varphi (x_0) \ right) \ cdot \ varphi „(x_0) $$
vagy rövidebb felvételi: $ y _ '= y _' \ cdot u _ „$.
A példákban az ebben a szakaszban, az összes funkció van formájában $ y = f (x) $ (azaz, figyelembe véve csak a funkció egyetlen változó $ x $). Ennek megfelelően az összes példa származtatott $ y „$ által hozott változó $ x $. Hangsúlyozni azt a tényt, hogy a származtatott kapcsolatban megtenni $ x $, gyakran helyett $ y „$ levelet $ y'_x $.
A példákban №1, №2 és №3 részletesen a folyamat találni a származék bonyolult funkciók. Példa №4 teljesebb megértése a táblázat származékok és érdemes olvasni.
Előnyösen után tananyag a példákban №1-3 megy a független döntést a példák №5, №6 és №7. Példák №5, №6 és №7 rövid tartalmi döntés az olvasó helyességének ellenőrzésére az eredmény.
Keresse meg a származék $ y = e ^ $.
Meg kell találnunk a származékot egy összetett függvény $ y „$. Mivel $ y = e ^ $, akkor $ y '= \ left (e ^ \ right)' $. Ahhoz, hogy megtalálja a származék $ \ left (e ^ \ right) „$ №6 használja a képlet származik az asztalra. Annak érdekében, hogy a képlet №6 kell jegyezni, hogy ebben az esetben a $ u = \ cos x $. Egy további megoldás banális képletű helyettesítések №6 kifejezések $ \ cos x $ helyett $ u $:
Most meg kell találni a kifejezés értéke $ (\ cos x) „$. Ismét, lásd Table származékok, kiválasztunk egy általános képletű belőle №10. Behelyettesítve $ u = x $ a képletben №10, van: $ (\ cos x) = - \ sin x \ cdot x '$. Most továbbra is a (1.1) egyenlet, hozzátéve, hogy a találat:
Mivel $ x „= 1 $, majd folytassa a következő egyenlet (1.2):
Szóval, (1.3) van: $ y „= - \ sin x \ cdot e ^ $. Természetesen, a magyarázatok és a közbenső egyenlőség általában telt rögzítési megállapítás származékot egy sorban - mint egyenletben (1.3). Így valamely egy összetett függvény már csak írni a válasz továbbra is.
Find a származék $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) $.
Meg kell számítani a származék $ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' $. Kezdeni, tudomásul vesszük, hogy az állandó (azaz a 9-es szám) lehet venni, mint egy jel a származék:
$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) „\ tag $$
Most térjünk a kifejeződése $ \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) „$. Válassza ki a kívánt képletet származékai a táblázat könnyebb volt, fogok bemutatni ezt a kifejezést ebben a formában: $ \ left (\ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ right) „$. Most azt látjuk, hogy kell használni a képlet №2, azaz $ \ Left (u ^ \ alpha \ right) '= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u' $. Ebben a képletben helyettesítő $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ és $ \ alpha = 12 $:
Kiegészítve az egyenlet (2.1) az eredményt kapjuk:
$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) „= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „\ tag $$
Ebben a helyzetben gyakran téved, amikor Solver az első lépésben kiválasztja formula $ (\ arctg \; u) '= \ frac \ cdot u' $ helyett képlet $ \ left (u ^ \ alpha \ right) „= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u „$. Az a tény, hogy az első legyen a származékot a külső funkció. Ahhoz, hogy megértsük, milyen funkció külső kifejezésére $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $, képzeljük el, hogy úgy gondolja, a kifejezés $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $ egy bizonyos értéke $ x $. Először megtalálni értéke $ 5 ^ x $, majd szorozzuk meg az eredményt 4 $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Most, ez az eredmény, vesszük az ív érintőlegesen kapott $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Ezután emelje a kapott számot a tizenkettedik mértékben, így $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $. Az utolsó fellépés - azaz hatványozási 12, - lesz egy külső funkciót. És, hogy meg kell kezdeni a megállapítás a származék, ami történt, az (2.2).
Most meg kell találni a $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „$. A következő képlet №19 táblázat származó helyettesítette őt $ u = 4 \ cdot \ ln x $:
Bit egyszerűsítse a kapott expressziós, mivel a $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.
(2.2) most a következők:
$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) „= \ \ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot \ frac \ cdot (4 \ cdot \ ln x) „\ tag $$
Továbbra is találni $ (4 \ cdot \ ln x) „$. A állandó (azaz 4) a megjelölés a származtatott: $ (4 \ cdot \ ln x) '= 4 \ cdot (\ ln x)' $. Annak érdekében, hogy megtalálják a $ (\ ln x) '$ használjuk a képlet №8, hogy ebben az esetben saját $ u = x $: $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x „$. Mivel $ x '= 1 $, akkor a $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x „= \ frac \ cdot 1 = \ frac $. Behelyettesítve ez az eredmény a (2.3) formula, kapjuk:
$$ y '= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right)' = 9 \ cdot \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ right) „= \ \ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „= 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot \ frac \ cdot (4 \ cdot \ ln x) „= \\ = 108 \ cdot \ left (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ right) ^ \ cdot \ frac \ cdot 4 \ cdot \ frac = 432 \ cdot \ frac (4 \ cdot \ ln x)>. $$
Hadd emlékeztessem önöket, hogy a származék egy összetett függvény leggyakrabban található egy sorban - feljegyzett utolsó egyenlőséget. Ezért a tervezés, a modellben vagy ellenőrzési munkák nem feltétlenül festeni döntést legrészletesebben.
Először, néhány, a transzformáló függvény $ y $, kifejező gyök (gyökér) formájában fok: $ y = \ sqrt [7] = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> $. Most folytassa a származék. Mivel $ y = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> $, akkor:
Felhasználása Az általános képletű származékok №2 táblázat. helyett az ő $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ és $ \ alpha = \ frac $:
$$ \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ right) „= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^ - 1> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „$$
Továbbra egyenlet (3.1) segítségével az eredményt:
Most meg kell találni a $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „$. A képlet a táblázat №9 származékok, helyettesítve vele $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $:
$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '= \ cos (5 \ cdot 9 ^ X) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)' $$
Hozzátéve, hogy a (3.2) egyenlettel az eredménnyel, van:
$$ y '= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ right)' = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right ) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \\ = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) „\ tag $$
Továbbra is találni $ (5 \ cdot 9 ^ x) „$. Már a kezdet kezdetén be fog nyújtani egy konstans (a szám a $ 5 $) a jele a származék, azaz a $ (5 \ cdot 9 ^ x) '= 5 \ cdot (9 ^ x)' $. A származékot $ (9 ^ x) '$ alkalmazandó táblázat №5 által származtatott képletet helyettesítésével ez $ a = $ 9 és $ u = x $: $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x „$. Mivel $ x '= 1 $, akkor a $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x „= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Most is az egyenlet (3.3):
$$ y '= \ left (\ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ right)' = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right ) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \\ = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) „= \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ X) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac \ cdot \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ X) \ right) ^> \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ X) \ cdot 9 ^ x. $$
Akkor ismét visszatérhet a fokozatok csoportok (azaz gyökér) írásával $ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^> $ formájában $ \ frac >> = \ frac> $. Majd ezt a származékot rögzített formában:
Mutassuk meg, hogy a képlet №3 és №4 származó tábla egy speciális esete képlet №2 ebben a táblázatban.
A képletben táblázatban №2 származékok rögzített származékot $ u ^ \ alpha $. Behelyettesítve a $ \ alpha = -1 $ a képletben №2, megkapjuk:
Mivel $ u ^ = \ frac $ és $ u ^ = \ frac $, akkor (4.1) lehet átírni: $ \ left (\ frac \ right) = - \ frac \ cdot u '$. Ez egy általános képletű származó táblázatot №3.
Hivatkozással ismét a képletű №2 származékok táblázatban. Helyettesítő az ő $ \ alpha = \ frac $:
Ez az egyenlőség $ (\ sqrt) '= \ frac> \ cdot u' $ és általános képletű táblázat №4. Mint látható, a képlet №3 és №4 származó tábla származó formula helyett a megfelelő értékeket №2 $ \ alpha $.
Keresse $ y „$, ha $ y = \ arcsin 2 ^ x $.
Megtalálni a származék komplex függvény, ebben a példában írunk nélkül részletes magyarázatot, hogy kaptak a korábbi probléma.
Keresse $ y „$, ha $ y = 7 \ cdot \ ln \ sin ^ 3 x $.
Ahogy az előző példában, a megállapítás a származékot egy összetett függvény adja nincsenek adatok. Célszerű felvenni a származékos egyedül, csak utalva a határozat az alábbiak szerint.
Válasz. $ Y „= 21 \ cdot \ ctg x $.
