A folytonosság a szakadék
Definíció 1: f (x) függvény folytonos a (a; b). ha ez a folyamatos minden pontján az intervallumban.
2. Definíció: Egy f (x) az úgynevezett folyamatos intervallumon [a; b], ha ez a folyamatos minden pontján az intervallum (a, b), és folyamatos a jobb és a bal oldali a b pont.
Minden elemi függvény folytonos saját domain.
2. tétel: Az (I Bolzano Cauchy-tétel) Legyen az f (x) folytonos intervallumon [a; b] és a végpontokon van értékei különböző jelek. Aztán van egy pont Î(A; b), ahol f (c) = 0.
Geometriai jelentése: egy folytonos görbe az átmenet az egyik fél sík, amely határ a tengelyt Ox. A másik keresztezi ezen a tengelyen.
Geometriai jelentése: egy folytonos függvény f (x), amikor majd az egyik értéket a másikra, és minden köztes értékeket.
Corollárium: Ha az f (x) van meghatározva, és a folyamatos időközzel X. majd állítsa annak értékeit Y is jelent egy bizonyos intervallumot.
Definíció 3: f (x) függvény korlátos az [a; b], ha létezik olyan N számú> 0, hogy minden x Î[A; b] az | f (x) | £ M.
4. Tétel: (I Weierstrass tétel) Ha az f (x) van meghatározva, és a folyamatos intervallumon [a; b], hogy korlátozott ebben az intervallumban.
Megjegyzés: az intervallum (a, b) tétel hamis.
4. Definíció: pontos felső (alsó) kötött f (x), definiált Kh a legkisebb (legnagyobb) a felső (alsó) arcok határoló Y a fenti (lásd alább).
5. Tétel: (II Weierstrass tétel) Ha az f (x) folytonos intervallumon [a; b], akkor ez akár ezen a ponton azok pontos élek, vagyis vannak olyan pontok x1. x2 Î[A; b] oly módon, hogy
Megjegyzés: mielőtt belép a definíció:
Definíció 5: pontos felső (alsó) kötött a f (x) nevezzük maximális (minimális) értéke a függvény az intervallumon.
5. Tétel: (II Weierstrass tétel) folytonos függvény időközönként ezen szegmens maximális és minimális értékek.
6. Tétel (inverz függvényeként folytonosság) Legyen a függvény az y = f (x) jelentése szigorúan monoton és folyamatos egy bizonyos ideig, és hagyja, hogy X Y - annak számos értékek. Ezután a beállított Y az inverz függvény x = j (y) jelentése egyértelmű, szigorúan monoton és folyamatos.
Tegyük fel, hogy egy bizonyos időközönként X definiált függvény az y = f (x). Vegye bármely pontján x0 ÎX és meghatározza az érv x x0 tetszőleges növekmény Ax úgy, hogy Ax + X0 pont is tartozik: X. A függvény megkapja a növekmény DN = f (X0 + Ax) -f (x0).
Definíció 1: A függvény deriváltját y = f (x) x0 lesz a határérték ®0 Dx aránya növekmény funkció ezen a ponton, hogy a növekmény az érvelés (feltéve, hogy ez a határérték létezik).
Geometriai értelmében a származék. Legyen a függvény az y = f (x) van definiálva az intervallum (a. B) és hagyja, hogy az M pont a grafikonon a függvény értékének felel meg az érvelés x0. és az F pont - értéket x0 + Ax. Pontokon keresztül az M és P vonalat és hívja meg a vágás. Jelöljük j (Dx), és a metsző közötti szög pozitív iránya az Ox tengely. Nyilvánvaló, hogy ez attól függ, hogy a szög Dx.
Ha létezik. a vonal k = tgj0 lejtőn. ponton áthaladó M (x0, f (x0)) hívást korlátozó helyzetében a keresztező MR Dx ®0 (vagy P ®M).
Definíció 2: S érintő a függvény grafikonját y = f (x) a ponton M egy végállás a keresztező MR Dx ®0 (vagy P ®M).
Így a függvény deriváltját y = f (x) x0 egyenlő a lejtőn a érintő a függvény grafikonját y = f (x) pontjában az M (x0, f (x0)) és egyenlő a lejtőn a érintő a pozitív irányát az x-tengelyen.
A fizikai értelmében a származék. Tegyük fel, hogy a függvény az y = f (x) leírja a törvény a mozgás egy M pont az egyenesen r. E. Y = f (x) egy útvonal által átjárt az M pont a referencia időpontban x.
Az arány Dy / Dx nevezett átlagsebesség (VAV) során Dx. és a határérték a arány Dy / DX DX ®0 meghatározza, hogy a pillanatnyi sebessége a pont, amikor x0 (vmgn).
Definíció 3: A funkció y = f (x) nevezzük differenciálható x0. ha növekszik Dy ezen a ponton úgy reprezentálható, mint Dx Dy = A + a (Dx) Dx,
ahol A - egy szám, amely független az Ax. és a (Dx) - funkciója az érvelés Ax. Ez elenyészően kicsi, amikor Dx ®0, r. F .. Bebizonyosodott, hogy A = f ¢ (x0).
Mi közötti kapcsolat létrehozása differenciálható függvények egy ponton, és a létezését a származék ugyanazon a ponton.
1. Tétel: Annak érdekében, hogy működjön y = f (x) differenciálható x0. Szükséges és elégséges, hogy van ezen a ponton egy véges-származék.
Így differenciálható függvények egy változó, és a létezését a származék - egyenértékű a fogalmát. Ezért találni a származékos műveletet gyakran nevezik differenciálás.
2. Tétel: Ha a függvény az y = f (x) differenciálható a ponton x0. akkor folyamatosan ezen a ponton.
Megjegyzés. Az ellenkezője nem igaz. A funkció lehet folyamatos azon a ponton, de nem differenciálható, t. E. Nem rendelkezik a származék a ponton.