Képzeletbeli egység

A matematikában, a fizikában a képzeletbeli egység latin $én$ vagy $j$. Lehetővé teszi számunkra, hogy a valós számok mezőjét kiterjesszük a komplex számokra. A pontos meghatározás a bővítés módjától függ.

A képzeletbeli egység bevezetésének oka, hogy nem minden polinom egyenlet $f\; (x)\; =\; 0$ valódi együtthatókkal rendelkezik a valódi számok területén. Így egyenlet $x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0$ nincs valódi gyökere. Azonban kiderül, hogy minden komplex koefficienssel rendelkező polinom-egyenlet komplex megoldást tartalmaz - "Az algebra fő tétele".

Történelmileg először a képzeletbeli egység került bevezetésre, hogy megoldja az igazi köbös egyenletet. Gyakran, három valódi gyökér jelenlétében, hogy megkapják kettőjüket Cardano-féle formula, amely ahhoz szükséges, hogy komplex számokban vegye a köbös gyökeret.

Végül is "-1" -nek két négyzetgyöke van, amelyek közül az egyiket "i" -nek, a másik pedig "-i" -nek nevezhetjük. Melyik gyökeret képzeletbeli egységként veszik el, nem fontos: minden egyenlőség érvényben marad, ha az "i" helyett "i" és "-i" helyett "i". Ennek a kétértelműségnek, a hibás számítások elkerülése érdekében azonban nem szabad használni a jelölést $én$ a radikális (pl $\backslash \; sqrt$).

meghatározás

Egy képzeletbeli egység olyan szám, amelynek a négyszöge -1. Ie $én$ Az egyenlet egyik megoldása

$x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0,$ vagy $x\; ^\; 2\; =\; -1.$

És az egyenlet második megoldása $-én$, amelyet kicseréléssel ellenőrzik.

A képzeletbeli egység fokozatai

fok $én$ ismétlődik a ciklusban:

$\backslash \; ldots$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i$ $i\; ^\; 0\; =\; 1$ $i\; ^\; 1\; =\; i$ $i\; ^\; 2\; =\; -1$ $i\; ^\; 3\; =\; -i$ $i\; ^\; 4\; =\; 1$ $\backslash \; ldots$

Mit lehet bármilyen formában megírt formában:

$i\; ^\; =\; 1$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i.$

ahol n egy egész szám.

Száma $i\; ^\; i$ valóságos.

$i!\; =\; \backslash \; Gamma\; (1\; +\; i)\; \backslash \; kb.\; 0,4980\; -\; 0,1549i.$

A gyökerek cubicok a képzeletbeli egységből (a háromszög csúcsai)

A komplex számok területén az n. Gyökérnek van n megoldása. A komplex síkon a képzeletbeli egység gyökerei a szokásos n-gon csúcsai. egy kör sugarú körzetbe írva.

Ez a Moivre formula és az a tény, hogy a képzeletbeli egység trigonometrikus formában ábrázolható:

Továbbá a képzeletbeli egység gyökerei indikatív formában is megjeleníthetők:

Más képzeletbeli egységek

A Cayley-Dickson-konstrukcióban (vagy a Clifford-algebrában) több "képzeletbeli kiterjesztési egység" létezik, és / vagy négyzetük lehet "+ 1" vagy akár "0". De ebben az esetben lehetnek nulla osztók, vannak olyan tulajdonságok, amelyek különböznek az "i" komplex tulajdonságaitól. Például a kvaternok testében három antikommutatív képzeletbeli egységet, valamint végtelen sok megoldást találunk a "$x\; ^\; 2\; =\; -1$”.

Az értelmezés és a név kérdésében

Gauss azt állította továbbá, hogy ha az 1, -1 és a √-1 értékeket nem pozitív, negatív és képzeletbeli egységnek nevezik, hanem közvetlen, fordított és oldalirányú, akkor az emberek nem fogják azt a benyomást kelteni, rejtély. Gauss szerint a geometriai ábrázolás a képzeletbeli számok valódi metafizikáját új fényben adja. Gauss volt az, aki bevezette a "komplex számok" kifejezést (ellentétben Descartes képzeletbeli számával), és az i szimbólumot √-1 jelöli.

Maurice Cline. „Matematika. A bizonyosság elvesztése. " VII. Fejezet. Illogikus fejlődés: súlyos nehézségek a XIX. Század küszöbén.

elnevezések

Hagyományos megjelölés $én$, de az elektromos és rádiós technikában a képzeletbeli egységet általában jelölik $j$, nem szabad összetéveszteni a pillanatnyi áram kijelölésével. $i\; =\; i\; (t)$.

jegyzetek

Kapcsolódó cikkek

• Képzeletbeli egység 1

• Angol fordítás, példák, transzkripció, kiejtés

• Mina, a tömeg és a valuta mértéke - a brockhaus és az efron enciklopédiája - mit jelent, leírást, fényképet,