A metrikus terek meghatározása és példái, 6. oldal
Az összesített nyitott szett R nevű alapja minden nyitva áll, ha több R is képviselteti magát egy bizonyos összeget egy (véges vagy végtelen) számú készletek tartozó ezt meg.
Annak ellenőrzésére, hogy egy adott készlet halmaza alapul-e vagy sem, a következő kritérium hasznos.
Tétel 3. Annak érdekében, hogy a nyílt készletek rendszerének alapja legyen az R-ben, szükséges és elégséges, hogy minden G nyitott készlethez és minden egyes ponthoz olyan rendszer álljon, hogy
Bizonyítás. Ha alapul szolgál, akkor minden G nyitott készlet összege néhány
következésképpen minden G-pont x-ben van, amely egyes G-ben található. Ezzel szemben, ha a tétel hipotézise teljesül, akkor ez alapja. Valójában G legyen önkényes nyitott halmaz. Minden egyes pontnál találunk olyat, hogy ezek összessége egyenlő G.
Ennek a kritériumnak köszönhetően könnyű megállapítani, hogy minden metrikus térben az összes nyitott szféra halmaza alapot képez. A racionális sugárral kapcsolatos összes szféra összegyűjtése szintén alapja. Közvetlenül például az összes racionális intervallum (vagyis a racionális végpontok közötti intervallum) készlete.
R-t megszámlálható alapú térnek nevezünk, ha R-ben legalább egy számítható elemszámból álló alapot találunk.
4. Tétel. Annak érdekében, hogy R egy megszámolható alapú tér, szükségessé és elegendőnek kell lennie ahhoz, hogy egy legfeljebb számláló [3] sűrű készlet legyen benne.
Bizonyítás. Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy R megszámlálható alapján választhat az egyes tetszőleges pont így kapott sűrű beállítva R. Valóban, legyen x - tetszőleges helyen a R és - néhány környéken. Tétel szerint 3, van egy sor, amely Mivel legalább az egyik pontot a szomszédságában tetszőleges ponton legalább egy pont, és ez azt jelenti, hogy sűrű R.
Megfelelősége. Ha R-ban mindenhol sűrű sorozatban számolható, akkor a gömbök összegyűjtése megszámlálható alapot képez R.-ben. Valójában ezeknek a szféráknak a halmaza megszámolható (mint egy számozható sorozatos készlet összege). Továbbá legyen G - nyílt halmaz és x - a pont G. A definíció szerint létezik egy nyílt halmaz, hogy a gömb teljes mértékben tartalmazza G. Most választhat a különböző pont úgy, hogy amikor a gömb tartalmazza az x és tartalmazza, és ennek következtében a G A 3. tételből következik, hogy a gömbök alapot képeznek R.-ben.
Ennek a tételnek a segítségével a fentiekben leírt szétválasztható terek (43. oldal) példái egyúttal a számlálható alapú terek példái.
A készletek rendszere R fedőrétegnek számít, ha egy nyitott (zárt) készletből álló fedelet nyílt fedőrétegnek neveznek.
5. tétel. Ha R egy számszerűsített metrikus tér, akkor mindegyik nyitott borítójától véges vagy számlálható fedőréteget választhat.
Bizonyítás. Legyen R nyitott borítója. Így minden pont tartalmaz néhányat
Let - megszámlálható alapján R. Aztán ez a bázis van olyan elem, amely teljességében így kiválasztott készlet véges, vagy megszámlálható, és fedezi az összes R. kiválasztja az egyes egyik készlet tartalmazza, és kapunk egy véges vagy megszámlálható bevonat subcovering
Már említettük, hogy az üres szett és az R teljes tér egyaránt nyitott és zárt. Olyan helyet, amelyben nincsenek olyan nyitott és zárt szettek, amelyekhez kapcsolódik. Az R 1 egyenes a csatlakoztatott metrikus terek egyik legegyszerűbb példája. Ha egy bizonyos véges pontkészletet távolít el az R 1-ből (például egy pont), akkor a fennmaradó helyet többé nem kapcsolja össze. A nem összekapcsolt tér legegyszerűbb példája két olyan pont, amelyek tetszőleges távolságra vannak egymástól.