Cubic spline alkalmazási esetek

Itt m i = S 3 0 (x i); m i + 1 = S 3 0 (x i + 1). Ezek meghatározásához a második derivált folytonossági körülményeit az x i ponton kell kiszabni, és a spline és annak származékainak az [a, b] intervallum végeire vonatkozó korlátozása a határfeltételek. Ez azt jelenti, hogy további információra van szükség az interpoláció szükségességét illetően.

Interpolációs köbös spline kialakításakor a leggyakrabban használt négyfajták határfeltételei. A határfeltételek kiválasztása a funkcionális interpoláció egyik központi problémája. Különösen fontos, ha szükséges az f (x) függvény közelítésének nagy pontossága az S (x) görbe által az [a, b] intervallum végeinek közelében. A határértékek jelentősen befolyásolják az a és b pontok közelében lévő S (x) spline viselkedését. Ez a hatás gyorsan gyengül, amikor elhagyjuk őket.

Ha az i-th származék f 0 (x) értékei az [a, b] végein ismeretesek, akkor természetes, hogy az első típusú határfeltételeket használjuk.

1. Az 1. típusú határok. Ha ismert, hogy S 3 0 (a) = f 0 (a); S 3 0 (b) = f 0 (b), majd meghatározzuk

• Vissza • Először • Előző • Következő • Utolsó • Ugrás • Index

Ha az 1. és a 2. típusú határfeltételek közül választhat, akkor az előnyt az 1. típusú feltételeknek kell megadni.

3. A harmadik típus határok

Abban az esetben, ha nincs további információ a hozzá közelítendő funkció viselkedéséről, gyakran az úgynevezett természetes határfeltételekről

S 00 (a) = 0, S 00 (b) = 0.

• Vissza • Először • Előző • Következő • Utolsó • Ugrás • Index

Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy a határfeltételek választékával az [a, b] intervallum végeihez közeli S (x) függvény hozzávetőleges pontossága az f (x) függvényhez képest jelentősen csökken. Néha az első vagy a második típus határfeltételeit alkalmazzák, de nem a megfelelő származékok pontos értékeivel, hanem a differenciálódásukkal. A megközelítés pontossága nem magas.

A számítások gyakorlati tapasztalata azt mutatja, hogy ilyen helyzetben a természetes határfeltételek kiválasztása a legalkalmasabb.

Ha f (x) egy periodikus függvény, akkor meg kell állnunk a harmadik típus határfeltételein.

4. A negyedik típusú határok. Ha f (x) egy f (x) = f (x + T) periodikus függvénye, akkor f (x0) = f (x n), f (x1) = f (x n + 1) m 0 = m n. m 1 = m n + 1, és az egyenletek rendszere formában van

Ha az interpolált f (x) interpolált függvény egy folytonos első derivált az [a, b] intervallumon, azaz f (x) C 1 [a, b] és S (x) egy interpoláló spline, amely megfelel az első vagy A harmadik típusból, akkor h + 0-ig van

kf (x) - S (x) k C = o (h), kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (1).

Ebben az esetben nemcsak a spline konvergál az interpolált függvényhez, hanem a spline deriváltja konvergál a függvény származékához.

Abban az esetben, ha f (x) C 4 [a, b], az S (x) spline közelíti az a (f) függvényt az [a, b]

és a második származékok megközelítik az f 0 (x) és az f 00 (x) függvényeket:

kf (x) - S (x) k C = o (h4), kf 0 (x) - S 0 (x)

kf 0 (x) - S 0 (x) k C = o (h2).

Egy köbös spline extrém tulajdonsága

Az interpoláló köbös spline még egy hasznos tulajdonsággal rendelkezik. Fontolja meg a problémát. A feladat. Hozz létre egy f (x) függvényt, amely minimalizálja a funkcionalitást

I (f) = (f 00 (x)) 2 dx

• Vissza • Először • Előző • Következő • Utolsó • Ugrás • Index