Saltan király története a laplaciánus, salvopearharhar potenciájáról

- Három, az éjszaka alatt az asztal alatt lógott lány.

Hát, hogyan fonódtak. Természetesen nem forogtak, de lustaak voltak egymással. A Miss Soltan verseny alatt a lányoknak a legjobbat kellett kiválasztani maguk között.

"Furcsa verseny", a lányok aggódtak. És ez igaz volt. A verseny szabályai szerint a résztvevő laik súlya attól függ, hogy hányan szereti a többiektől. Mit jelent - egyetlen lány sem értette meg teljesen.
"Milyen nehéz az egész", a lányok vágytak és bátorították magukat a daldal "Ha királyné volnék".

Hamarosan "a király belépett a palotába - ez az uralkodó oldalán" (a képen látható). "Az egész beszélgetés alatt ..." - Nos, általában érthető.
- Gyűjtsük össze a szeretet kedveltségét - a szomszédosság mátrixát alkotjuk - vidáman rímelte.
Az Alain, Barbara és Sophia nevével rendelkező szép lányok zavarba jöttek, de a husky (a balalaikából) átkerültek.

Itt van ott:

• Alena 1-et szerzett Sophia-ból és 2 kedvelt Varvara-tól.
• Varvara laika-t kapott Alenától és Sophia-tól.
• És Sophia 2 hülyét kapott Alenától és 1 Varvarától.

A király vette husky, csavart anyával, megérintette a kerekek poshmygal orr, csapott ajkak, fogak poskripel, hajtott a kamrában, és bejelentette az eredményeket.

A legnagyobb súlyt (7 pontot) Szófia fogadta, de a "Miss Szalán" cím Alena-ra (15 pont) ment.

a potenciális vektor (5, 4, 7), és a fluxvektor (15, 12, 14).

1. Az egyenleg egyenlete

Világunk középpontjában az egyensúly. Ez azt jelenti, hogy ha valami megérkezett egy helyre, akkor egy másik helyen csökkent.

A fizikusok ezt a mérleget folyamatos és folyamatos média folytonossági egyenletével igazolják. De a modern világban a tartály ékeket diszkrét rendszerek - grafikonok vezérlik.

A grafikonnak olyan csomópontjai vannak, amelyeken keresztül az áramlás áramlik (jól, ahogy folyik - rándulások és szabálytalanul). Az egyensúly elve egyszerű - a grafikon csomópontjában különbség van a mennyisége és a mennyisége között. És honnan folyik az áramlás a csomópontból? Helyesen - más csomópontokban az áramlás a csomópontba más csomópontokból is áramlik.

Ezt a szavakat a következő képlet segítségével írjuk:

Itt jelöli a bejövő adatfolyam összegét az i-os csomópontra, - a kimenő csomópontból kilépő mennyiséget, - a maradék csomópont változását.

Igen, a tárcánkban lévő maradványok ennek az egyensúlyi egyenletnek vannak kitéve. És az összes elszámolás alapul - még a speciális nevek is megjelennek: a kimenő áramlás a hitel, a bejövő pedig a terhelés.

Nem ismeretes, hogy ki és miért vezette be a természetes (fizikai) rendszerek egyensúlyának elvét, de a mesterséges rendszerek alapja (számvitel, minősítések, karmák stb.) Jobb az egyensúly elvének megállapítására. Ha a világ túlélte egyensúlyát, akkor egy ilyen rendszernek van esélye.

Sok esetben (különösen a mi értékelési versenyünknél) a csomópont többi részének számlája nem szükséges. Vagyis mindig nulla - mennyi folyik be - annyira kiáradt. Zéróértékű játék nulla egyensúlyban. Az ilyen rendszerek esetében az egyenlet egyszerűsödik:

Cool. De eddig kevéssé használható.

Potenciális egyensúly

Amikor beszéltünk arról a tényről, hogy egy patak áramolhat az i csomópontról a j csomópontra. azt értettük, hogy van némi kapcsolat a két csomópont között. Ellenkező esetben az áramlásnak egyszerűen nincs semmi áramlata. A grafikon csomópontjainak összekapcsolását általában szomszédsági mátrixnak nevezik. elemeit jelöli. Áramlások esetén a függőségi mátrixot vezetőképességi mátrixnak is nevezik. Elemei tükrözik a grafikon széleinek sávszélességét.

Van egy kapcsolat - van áramlás, nincs kapcsolat - nincs áramlás. Logikus feltételezni, hogy minél erősebb a kapcsolat, annál nagyobb az áramlás.
Tehát a csomópontok közötti áramlás arányos a csomópontok kapcsolatának értékével. De mi az az arányossági együttható?

A válasz egy kicsit ködös - a csomópontból érkező áram arányos a csomópont bizonyos potenciáljával.
A válasz lényege, hogy a csomópontoknak van egy bizonyos potenciálja, és ez a potenciál közvetlenül meghatározza a kimenő áramlás mennyiségét. Ha például két csomópont van, amelyek mindkét irányú () azonos vezetőképességűek, akkor a csomópontok közötti teljes fluxust az e csomópontok potenciális különbsége határozza meg. Az elektromos hálózatok létezése bizonyítja, hogy ez tényleg működik.

Az áramlás és a potenciál és a vezetőképesség közötti kapcsolatot egy egyszerű képlet adja meg:

A (1.3) egyensúlyi egyenletbe (1.2) való helyettesítésével egy egyenletrendszert kapunk a csomópontok potenciáljának kiszámításához:

Ebben az egyenletben a vezetőképesség ismeretes, és az ismeretlenek a potenciálok.
A rendszer egyenleteinek száma egyenlő a grafikonon lévő csomópontok számával. Az egyensúlyegyenletek rendszerének megoldása közvetlen feladata a grafikon potenciáljának (és fluxusainak) kiszámításához.

Az (1.4) egyenletben a kimenő linkek általános vezetőképességének fogalmát a csomópontról használtuk - a csomópont mértéke:

Értékelések és önértékelések

- Nagyszerű - mondta a lányok, ásítva. - De hol van a kedvtelés?

A szavazórendszerekben, amelyekben a résztvevők értékelik egymást, a pontszámokat figyelembe veszik, figyelembe véve az egyes résztvevők hangjának súlyát. És a hang súlya ismét attól függ, hogy a résztvevők mások által értékelték-e.

Kapcsolódunk az áramlásokhoz. Amikor az i-edik résztvevő a j-os résztvevőt a minősítéssel (a szerettei számával) mérlegeli, akkor megosztja vele a streamjét. Itt nincs szükség a maradványok mentésére, így minden résztvevő megosztja másokkal a kapott adatokat.

A résztvevõ hangjának súlya a szerencsejátékosok potenciálja, mátrixa - ez a függõség mátrixa (kapcsolódás), és a végeredmény a teljes (ugyanaz) adatfolyam.

A résztvevők rangsorolásához (a legmegfelelőbbek meghatározásához) meg kell oldanunk az egyensúlyi egyenletet (1.4), vagyis meg kell határoznunk a résztvevők súlyát, akik egyensúlyt tesznek a rendszerrel.

2. A laplaciak

Amikor fiatal voltam és hülye voltam először az egyensúlyi egyenlethez (1.4.), Már tudtam, hogyan lehet programozni és tudni a ciklusokról. Ezért programozóként megoldottam - egymást követő iterációk módszerével. Mivel a kezdeti vektor potenciálok, szorozza meg a szomszédsági mátrix, osszuk el a mértéke a csomópontok, megkapjuk egy új vektor potenciál és t. D. Általános szabály, a folyamat konvergál. És emlékeztem a fiatalokra, miután elolvastam egy cikket egy részeg értékéről. ami általánosságban arra késztette, hogy "formulákat keressek".

Emlékszem a "wow-effektusra", amikor megtudtam, hogy van egy másik módja a potenciál kiszámítására, amely nyilvánvalóan a nagyszüleinknek, Laplace és Kirchhoff is tudott. A módszer a Laplacian mátrixok tulajdonságain alapul. Itt a közelmúltban emlékeztek a Laplaciánokra folyamatos környezetben. A diszkrét laplaciák nem kevésbé érdekesek és fontosak.

Az adott szomszédsági mátrixból származó laplacián mátrix meghatározásához a fenti csomópontok fogalmát használjuk fel. A csomópontok foka a Laplacián átlója mentén van elrendezve, és a fennmaradó elemek a szomszédos mátrixból az ellenkező jelből származnak. Az így kapott mátrixot Kirchhoff-mátrixnak is nevezik:

Itt láthatja a Laplaciant a mi szeretteinkből

Feltételezzük, hogy az i csomópontból kiáramló ívek vezetőképessége a mátrix i. Ennek megfelelően a mátrix i-es sorai a csomópontba belépő ívek vezetőképessége. Ezután a Laplacian egyes oszlopainak elemeinek összege nulla.

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen típusú mátrixok külön osztályt alkotnak, a Laplaciánok. A laplacián meghatározó tényező mindig nulla, ezért például nincs rendes inverz mátrix. De van egy másik (pszeudo) inverz, van egy egységmátrix is. A Laplacian nem csak a fenti átalakulással szerezhető be. Például az eltérési transzformáció a laplacei kimenetet is adja.

A laplaciánok szimmetrikusak lehetnek - ezekben az összes csomópont potenciálja egyenlő egymással - feladatunkra még mindig nem érzik érdeklődésüket.

A Kirchhoff mátrix a laplaciak osztályába tartozik.

Laplace potenciálok

A lineáris algebrában a mátrix egy további mínuszának fogalma van - ez a mátrix meghatározója a sorok és oszlopok eredeti törléséből. További kiskorúak fontos szerepet játszanak a laplaciánusokban.

A Laplacián elsőrendű potenciálja a mátrix meghatározója, amelyet az eredeti laplacián egy sor és egy oszlop törlésével nyertek.

Mivel feltételeztük, hogy Laplaciánkban az egyes oszlopok összege nulla, akkor a potenciál értékét csak az áthúzott oszlop határozza meg, - a húr lehet bármely. Kényelmes törölni ugyanazt a sort, mint az oszlop - akkor ne gondoljon a determináns jeleire.

Így, ha a mátrix egy további kiskorúja által jelöltünk, akkor a laplaciánus potenciál meghatározása írható

Tehát ezek az elsőrendű potenciálok a Kirchhoff mátrixból az (1.4) egyenlet kívánt megoldása.
Elképesztő. Nincs szükség ciklusokra, kezdeti megbízásokra, mátrixok stb. Termékeire, töröltem a sort / oszlopot, megszámoltam a meghatározót, megkaptam a választ.

Az elsőrendű potenciál tulajdonságai

• A csomóponthoz tartozó potenciál a gráfszélek vezetőképességének termékeinek (párkányok) összege az adott csomópont összes lehetséges útja mentén, a kontúrok (ciklusok) kivételével.
• A termékben szereplő tényezők száma 1 kisebb, mint a grafikon dimenziója (csomópontok száma).
• A csomópont potenciálja nem függ a rajta levő ívek vezetőképességétől.
• A csomóponthoz tartozó kifejezés minden egyes sorszáma (elérési út) olyan ívekből áll, amelyek az adott csomóponthoz tartozó összes csomópontból származnak. Egy oszlopban nincs két ív ugyanabból a csomópontból, de lehetnek ívek, amelyek egy csomópontot írnak be.
• Minden egyes ponthoz (elérési út) szükségszerűen egy ívet kell beírni a csomópontba (zárt).
• A potenciál kifejezésében nincsenek ciklusokat tartalmazó kontúrok (kontúrok).
• A potenciál expressziójában lévő tuple-ek számát a jól ismert Cayley-formula határozza meg, és gyorsan növekszik a grafikon növekvő csomópontjaival. 4 csomópont esetében 4 ^ 2 = 16, öt - 5 ^ 3 = 125 stb.
• Egy szimmetrikus grafikonban az összes csomópont potenciálja egyenlő, mivel az összes csomópont potenciáljára vonatkozó kifejezés struktúrája azonos (a különbség csak az irányt jelenti).

Grafikus struktúrája a grafikon potenciáljának 4 csomópontból

A csomóponton keresztüli áramlás meghatározásához elegendő a csomópont potenciáljának szaporodása mértéke szerint:

Megkaptuk, amit akarunk.

A résztvevő hangjának (potenciál) súlyának kiszámításához törölje a megfelelő sort és oszlopot, és fontolja meg a meghatározót. 3 potenciálot kapunk:

Ez az egyes résztvevők hangja. Most tekintsük át az áramlatokat és határozzuk meg, hogy hány gólt szerzett:

Alena megszerezte a legtöbb szavazatot.

Hogyan lehet kiszámítani a nagy grafikonok potenciálját?

Ha a grafikon nagy (sok csomópont), akkor kényelmetlen (költséges) kiszámítani a potenciálpotenciál vektorát a laplaci kiskorúak determinánsainak számításán keresztül. Ilyen helyzetekben jobb a mátrix inverzió használata. Az algoritmus a következő:

• A Laplacián mátrixban az első sort a vektor (1, 0, 0, ...) helyettesítjük.
• A kapott mátrix inverz mátrixát vesszük figyelembe, és meghatároztuk determinánsát.
• A kapott inverz mátrix első oszlopának értékét a meghatározója határozza meg. Ez a potenciál szükséges vektora. Az első sor tartalmazza az első csomópont potenciálját, a második sor a második csomópontot mutatja, és így tovább.
• Ha a potenciál abszolút értéke nem fontos, akkor a meghatározónak nem kell figyelembe vennie és megosztani.

A potenciális és áramlási alapú objektumok rangsorolása

Ami pontosan a rangsorolás - potenciálok vagy áramlások alapjául szolgál - minden feladatban külön megfontolásra van szükség, mivel ezt egy alkalmazott aspektus határozza meg.

Verseny eredmények

A korszerű és helyes megközelítés a súlyozott pontok figyelembe vétele, azaz a potenciálok és az áramlások kiszámítása. Egy másik plusz - ezzel a rendszerrel szinte kizárják az ülések felosztását - nem kell gondolni, hogy mi legyen a pontok egyenlőségével.

Nemrégiben Moszkvában lezárult a pályázók versenye (Gratulálunk Sergey Karyakinnak a győzelemhez!), Melynek eredményeként nagyszámú résztvevő osztotta meg az üléseket (2-3, 4-7). A potenciál módszerével próbáljuk kitalálni, ki valójában átvette a helyet.

A verseny eredményei a grafikon szomszédsági mátrixai. A szerencsével kapcsolatban a résztvevõ vesztesége a Laika megszerzése a gyõztesnek (bár kissé szokatlannak hangzik). A vesztesről a győztesre a mérlegelt pontok folyik.

És mi a potenciális játékos?
Potenciális a játék ereje a résztvevő által (ebben a versenyben). Minél nagyobb a résztvevő lehetősége, annál értékesebbek a másoktól kapott pontok.
Lehetséges-e, hogy egy kevésbé hatékony játékos több pontot szerezzen, mint az erősebb? Igen, ez teljesen lehetséges, bár nem történik ilyen gyakran. Például a pályázók fenti versenyén a résztvevõ ereje és pontjai egybeesnek - a potenciálok és az áramlások rangsorolása egyenértékûnek bizonyult.

Azok számára, akik érdeklődnek a részletekért

A potenciálokat és a folyamatokat normalizáltuk, így összegük 100-nak felel meg.

Caruana még mindig a második, és Giri a negyedik.

Az alkoholfogyasztás lehetőségei

Az utolsó példa, amelyet ebben a cikkben figyelembe fogunk venni, a kártyák értékének kiszámítása a népszerű játékban "Drunkard".
Köszönöm ezt a példát astgtciv. Cikk nélkül. talán mégsem lenne ez.

A probléma megállapításáról részletesen szerepel az említett cikk, - a kártyák egymásnak a rangidős szabályok szerint ütköznek, de hatan uralják az ászot.
Ez a probléma jó, mert a potenciál értékei (hm, és mit jelent ez?) Kifejezhetõ formában is kifejezhetõk - egyszerű képletek.

A szomszédsági mátrix általános nézete megegyezik a kártya összehasonlítások eredményével - ki éri el a kinek.
A feltételes ásztól a feltételes hatig terjedő kártyák számozásához a szomszédsági mátrix következő formáját kapjuk:

A legfontosabb funkció - a jobb alsó sarokban - "a hat üt egy ász".
Ezután a Kirchhoff mátrix formája:

Most már tisztán látja, miért van a "hat" potenciálja (n-2)! Mivel az oszlopot és a hat oszlopot töröltük, egy háromszög alakú mátrixot kapunk, amelynek meghatározója a fő átló elemeinek egyszerű szorzása.
Ugyanez igaz az ászra, azzal az egyetlen különbséggel, hogy a tényezők összetételében kétszer van (n-2). Ezért azonnal nyilvánvaló, hogy az ász potenciál mindig (n-2) -szor nagyobb, mint a hat potenciálja.

Az Ace-tól hatig terjedő lehetőségekre vonatkozó kifejezések:

Érdekes, hogy az összes kártya lehetőségeinek összege (a hat és az ász kivételével) egyenlő az ász potenciállal:

következtetés

Hányan próbálhattak meghallgatni Saltan király történetének lányait a Laplaciánus lehetőségéről, de még mindig mélyen aludtak.
Nagyszerű lehetőségekkel álmodtak a jóemberekről, nagy ügyleteket irányítva.

Eljött és itt az ideje, hogy kerekítsünk. Használja a potenciálokat!