A valószínűségi elmélet tárgya
Ez a képzési kézikönyv a 190702 - "Szervezés és közlekedésbiztonság", a 260601 - "Élelmiszergyártás gépei és eszközei" szakos hallgatói "Matematika"
A "matematika" fegyelem mindezen szakterületeken a szövetségi tudományok állami oktatási szabványa. A fegyelem egyik szakasza, amelyet az alapvető oktatási program kötelező minimális tartalmi követelményei határoztak meg, "A valószínűség elmélete".
A "valószínűség elmélete" fejezet számos gyakorlati alkalmazást tartalmaz a speciális és általános szakmai tudományok tanulmányozásában e szakmák hallgatói által.
Meg kell jegyezni, hogy ez a képzési kézikönyv előadás anyagot tartalmaz, és részletes megoldásokat nyújt számos tipikus probléma megoldására. Az anyag ilyen bemutatása lehetővé teszi a kézikönyv használatát a diákok önálló munkájára a házi feladatokra és az MSH-ra mind a nappali, mind a részidős részlegekben.
A jelenlegi munka csak egy kis része a "Probability Theory" szakaszhoz kapcsolódó kérdések bemutatásának, a "Matematika" tudományág munkaprogramjának megfelelően, a jelzett specialitásokkal és a hozzárendelt osztálytermi idővel.
A valószínűségi elmélet tárgya
2) A valószínűségi elmélet tárgya.
3) Véletlenszerű események, osztályozásuk.
1) A valószínűség elmélete a gyakorlat igényeiből ered. Elemei "ismerősek" voltak a primitív emberek számára.
A "véletlenszerű matematika" megjelenése a XVII. Század közepére vezethető vissza, és a szerencsejáték-elmélet megteremtésére irányuló kísérlethez kapcsolódik.
A 17. és 19. században a határelméletek központi szerepet játszottak a valószínűségi elmélet fejlődésében. Ez az időszak A. Muávre (1667-1754), P. Laplace (1749-1827), K. Gauss (1777-1855), S. Poisson (1781-1840) munkáit tartalmazza.
A XX. Század végén - a XX. Század elején, a PL. Chebyshev (1821-1894), A. A. Markov (1856-1922), A.M. Lyapunov (1857-1918) kifejlesztett módszereket a határértékek bizonyítására a független önkényesen elosztott véletlen változók összegeként.
A modern valószínűségi elmélet egy szigorúan megalapozott matematikai tudomány. Nagymértékben kihasználja az egyéb matematikai tudományok eredményeit, és számos alkalmazásban van a természettudományokban és az emberi tudományokban.
2) A pontos tudományos kutatások nem a természetben, a társadalomban előforduló jelenségek, hanem a matematikai modellek, azaz a matematikai modellek. a jelenség leírása szigorúan meghatározott szimbólumok és műveletek felett.
Ebben az esetben egy valódi jelenség matematikai modelljének megalkotása érdekében sok esetben elegendő csak a fő tényezőket, a szabályszerűségeket figyelembe venni, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy a kísérlet eredményét az adott kezdeti feltételeknek megfelelően előre lehessen adni. Számos probléma van azonban ahhoz, hogy figyelembe kell venni azokat a véletlen tényezőket, amelyek a kísérlet kimenetelét bizonyossággal elemezik. Például célzott lövöldözés esetén a véletlenszerű tényezők figyelembevétele nélkül lehetetlen választ adni a kérdésre: hány rakétát kell elkölteni a cél meghiúsítására? Lehetetlen megjósolni, hogy melyik oldal fog kialudni, amikor egy érmét dob, stb. Az ilyen problémák, amelyek kimenetele teljes bizonyossággal nem megjósolható, nemcsak a jelenséget általában meghatározó fő, fő szabályszerűségeket, hanem véletlenszerű másodlagos tényezőket is tanulmányozni. Az ilyen problémákban talált mintákat statisztikai (vagy valószínűségi) jelenségnek nevezzük. A statisztikai szabályszerűségeket speciális matematikai tudományok - a valószínűségelmélet és a matematikai statisztikák - módszerével vizsgálják.
Valószínűségi al-elmélet egy olyan matematikai tudomány, amely a tömeges véletlen jelenségekben rejlő szabályszerűségeket vizsgálja.
A valószínűségi elmélet tárgya a véletlen jelenségekben megfigyelt szabályosság.
A véletlenszerű jelenség olyan jelenség, amelyet nem lehet megjósolni.
1.1.1. Példa. Példák a véletlen jelenségekre:
- a sas elhagyása egy érme dobálásakor;
- a megvásárolt lottójegy megnyerése;
- az érték bármilyen értékének stb.
A valószínűségi elmélet célja, hogy előrejelzést tegyen a véletlenszerű jelenségek területén, befolyásolja ezeknek a jelenségeknek a lefolyását, szabályozza őket, és korlátozza a véletlenszerűség terjedelmét.
3) Határozza meg a "véletlen esemény" fogalmát egy intuitív, vizuális megértésen alapulva. Legyen valamilyen tapasztalat, amelynek kimenetele nem előre megjósolható.
Fogalommeghatározás 1.1.1. Egy kísérlet. vagy tesztet, a kísérletet olyan reprodukálható körülmények között értjük, amelyben egy vagy másik jelenséget megfigyelünk, ez vagy az eredmény rögzített.
Csak azokat a kísérleteket vesszük figyelembe, amelyek elméletileg megismételhetők, változatlan körülmények között, tetszőleges számú alkalommal.
Ha a kísérlet eredménye változik az ismétlésével, akkor véletlen kimenetelű tapasztalatról beszélünk.
Fogalommeghatározás 1.1.2. Véletlenszerű esemény (egyszerűen egy esemény) bármely tény, hogy a véletlen kimenetelű tapasztalatokban előfordulhat vagy nem fordul elő.
Az eseményeket a latin ábécé nagybetűi jelzik :. . és így tovább.
1. Tapasztalat: kocka dobása.
Ebben a kísérletben a következő véletlen események fordulhatnak elő:
Az esemény "5 pont veszteség";
Esemény - "esik páros számú pontról" stb.
2. Tapasztalat: kivétel a dobozból, ahol a kék és piros golyók mérete és súlya azonos, egy labda.
Egy esemény egy kék golyó kitermelése az urnából. Ez az esemény véletlenszerű ebben a kísérletben.
3. Tapasztalat: dobja az érméket. E tapasztalat véletlenszerű eseményei:
Az esemény a "sas süllyedése";
Az esemény a "farok kiesik".
Fogalommeghatározás 1.1.3. Egy kísérlet azonnali kimeneteleit elemi eseményeknek nevezik.
Fogalommeghatározás 1.1.4. A tapasztalat minden elemi eseményének halmaza az elemi események térének vagy a kísérlet eredményeinek a szimbólummal jelölt területe.
Tapasztalat: kocka dobása.
Ennek a tapasztalatnak köszönhetően 6 elemi esemény létezik:
- egy pont elvesztése, - két pont elvesztése stb.
Ebben az esetben az elemi események térsége a következő:
A véletlen események közül kiemelkednek az elszigetelt és megbízható események.
Fogalommeghatározás 1.1.5. Az eseményt hitelesnek nevezik, ha feltétlenül jön ez a tapasztalat.
Az elemi események helyzete megbízható esemény. Ezért egy érvényes eseményt egy szimbólum jelez.
Tapasztalat: a dobozban csak kék golyók vannak.
Esemény - kék golyót távolítanak el a fiókból. Ez egy megbízható esemény.
Fogalommeghatározás 1.1.6. Az esemény. Lehetetlen, ha nem következik be a kísérlet eredményeként, és a szimbólum Ø jelöli.
Tapasztalat: a dobozban csak piros golyók.
Esemény - "kék golyót távolítanak el a fiókból". Ez az esemény lehetetlen.
Fogalommeghatározás 1.1.7. Két eseményt nevezünk közösnek ebben a kísérletben, ha egyikük megjelenése nem zárja ki a másik megjelenését ebben a kísérletben.
Tapasztalat: két szimmetrikus érme dobása.
Az esemény egy sas az első érme felső oldalán.
Az esemény a második érme felső oldalán található.
Az események közösek.
Fogalommeghatározás 1.1.8. Két eseményt összeegyeztethetetlennek neveznek. Ha ugyanazon teszt alatt nem tudnak együtt járni.
Tapasztalat: egy lövés egy fegyverből.
Az események következetlenek.
Fogalommeghatározás 1.1.9. Több eseményt összeegyeztethetetlennek neveznek. ha párosan összeegyeztethetetlenek.
Fogalommeghatározás 1.1.10. Számos esemény alkotja az események teljes csoportját. ha a kísérlet eredményeképpen elkerülhetetlenül legalább egynek kell megjelennie.
1.1.9. A harmadik példában az események - teljes csoportot alkotnak.
Fogalommeghatározás 1.1.11. Két esemény és. ellentétesnek hívják. ha az egyik megjelenése egyenértékű a másik megjelenésével.
1.1.10. Példa. A 8. példában az események ellentétesek.
Fogalommeghatározás 1.1.12. Számos eseményt ebben a tapasztalatban egyaránt valószínűnek neveznek. ha a kísérlet körülményei alapján feltételezhetjük, hogy egyikük sem objektíve több lehetséges, mint a másik.
1.1.11. Példa. A 3. példában az események ugyanúgy lehetségesek, mert Feltételezzük, hogy a kocka homogén anyagból készül, és szimmetrikus alakú.
Definíció 1.1.13. A tapasztalat eredménye azt mutatja, hogy ez az esemény kedvező, ha ez az esemény megjelenését jelenti.
1.1.12. Példa. Két kockát dobnak el, a leeresztett pontok összegeit számolják (mindkét kocka tetején lévő pontok összegének összege). A két kockára eső pontok összege 2 és 12 között változhat. Az események teljes csoportját rögzítheti ebben a tapasztalatban.
A megoldás. Az események teljes csoportját ugyanolyan lehetséges elemi kimenetek képezik. hol. az 1.1.1. táblázatban látható.
Az első eredmény azt jelenti, hogy az első kocka pontokat szerez a második ponton (= 1,2,3,4,5,6). Például (3,4) - az első kockán 3 pont, a második - 4 pont. Így 36 esemény fog teljes körű csoportot alkotni ebben a kísérletben.
1.1.13. Példa. Hány elemi eredmény támogatja az eseményt - "mindkét kockán ugyanazok a pontok csökkentek", amikor dobott két kockát?
A megoldás. Ez az esemény helyzetű 6 elemi esemény (lásd 1.1 táblázat.). (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6; 6).
1.1.14. Példa. Két kockát dobnak. Melyik eseményt előnyben részesítik az elemi eredmények: "az eldobott pontok összege 7", "az eldobott pontok összege egyenlő 8" -al?
A megoldás. (6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), 6; 1). Az eredmény, hogy "a leeresztett pontok összege egyenlő 8-val" 5 eredményt előnyben részesít: (2; 6), (3; 5), (4; 4); (5; 3); (6; 2). Ennek következtében az első eseményt több elemi eredmény támogatja.
Ennek a témának a megoldására javasoljuk az alábbi feladatok megoldását.
1) Összeférhetetlenek-e a következő események:
a) tapasztalat - szimmetrikus érme dobása; eseményeket:
b) tapasztalat - két lövés a célponton; eseményeket:
- "Legalább egy találat";
- - Legalább egy hiba.
2) A következő események egyformán lehetségesek?
a) tapasztalat - szimmetrikus érme dobása; eseményeket:
b) tapasztalat - hajlított érme dobása; eseményeket:
c) tapasztalat - lövés a célponton; eseményeket:
3) Az események teljes csoportját a következő események alkotják:
a) tapasztalat - szimmetrikus érme dobása; eseményeket:
b) tapasztalat - két szimmetrikus érmét feldobni; eseményeket:
4) Tapasztalat - két kocka dobása. Hány elemi eredmény támogatja a következő eseményeket:
- a leeresztett pontok összege 2;
- a leeresztett pontok összege 3;
- az eldobott pontok összege 4;
- az eldobott pontok összege 12?
5) Tapasztalat - három kocka dobása. Hány teljes elemi eredmény? Hány elemi eredmény támogatja az eseményt - három kocka pontot kapott: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? Mi a legnagyobb érték az esett pontok összegének?
Kérdések önvizsgálatra:
1. Mi az úgynevezett élmény vagy teszt?
2. Mi nevezik egy eseménynek?
3. Milyen eseményt hívnak hitelesnek ebben a kísérletben?
4. Milyen eseményt lehetetlennek nevezhetünk ebben a tapasztalatban?
5. Milyen eseményt véletlenszerűnek neveznek ebben a kísérletben?
6. Milyen eseményeket nevezünk közösnek ebben a tapasztalatunkban?
7. Milyen eseményeket nevezünk összeegyeztethetetlennek ebben a tapasztalatunkban?
8. Milyen eseményeket neveznek ellenkezőleg?
9. Milyen eseményeket tartanak egyenlőnek?
10. Mi nevezik az események teljes csoportja?
11. Mi az úgynevezett elemi eredmény?
12. Milyen elemi eredményeket kedvelnek ehhez az eseményhez?
13. Mi az események teljes csoportja egy érme dobálásakor?
14. Mi az események teljes csoportja, amikor két érmet dobnak?