Egyszerű spektrumú lineáris operátorok
Egyszerű spektrumú lineáris operátorok.
Megmagyarázzuk a lineáris operátorokat egy olyan dimenziós vektortéren, amely sajátos sajátértékekkel rendelkezik.
TEOREM 5.7. Ha egy lineáris operátor sajátvektorai különböző sajátértékekkel rendelkeznek, akkor a rendszer lineárisan független.
Bizonyítás. Legyen lineáris operátor egy vektortéren és sajátvektorai, amelyek különböző sajátértékekhez tartoznak,
A bizonyítás az m számú indukcióval történik, mivel minden sajátvektor eltér a nulla vektortól, a tétel igaz. Feltételezve, hogy a tétel igaz a vektorok esetében, azt bizonyítjuk, hogy ez igaz a vektorokra.
Bizonyítani kell, hogy bármelyik egyenlet esetében
Mivel lineáris operátor van, a (3) és az (1)
A (3) megfelelő részeit az (5) mindkét oldalán megszorozva () szorozzuk meg
Az induktív hipotézis szerint a sajátvektorok rendszere lineárisan független. Ezért (6) egyenlõséggel rendelkezünk
Tekintettel (2), van
Ezenkívül a (3) és (7)
Így bebizonyosodik, hogy (4) a (3) -ból következik, vagyis a rendszer lineárisan független.
Meghatározás. A különálló sajátértékeket tartalmazó dimenziós vektortéren egy lineáris operátor egy egyszerű spektrumú operátornak nevezhető; az operátor összes sajátértékének halmaza az operátor spektrumának nevezzük.
Javaslat 5.8. Legyen lineáris operátor egy 4 ° -os dimenziós vektortérrel, egyszerű spektrummal. Legyen az üzemeltető sajátvektora. Ezután a rendszer a tér alapja.
Bizonyítás. Hipotézis szerint az operátor spektruma párhuzamos különbözõ skalárból áll. Az 5.7. Tételből következik, hogy a sajátvektorok rendszere lineárisan független. A 7.3.4. Pontban ez azt jelenti, hogy a rendszer a tér alapja.
ELMÉLET 5.9. Legyen lineáris operátor egy -egyes spektrumú dimenziós vektortérrel - a sajátértékhez tartozó operátor sajátvektorai, majd az átlós mátrix
az operátor mátrixa a tér alapjához és vektorához viszonyítva
Bizonyítás. Hipotézis szerint,
Ezek az egyenlõségek azt mutatják, hogy az átlós mátrix (1) az operátor mátrixa az alap alapján. Továbbá, ha az üzemeltető linearitása miatt van
A (3) szerint ez az egyenlõségeket jelenti (2).