A konvergens szekvenciák korlátozottsága
5.4. A konvergens szekvenciák korlátozottsága
Meghatározás 5. A numerikus szekvenciát fentről (alulról) határoztuk meg, ha az értékeinek halmazát felülről (alulról) határoljuk.
Más szavakkal, az xn> numerikus sorozatot korábban (alul) határoljuk, ha létezik egy szám
kr. hogy minden n esetében az xn egyenlőtlenség
Úgy mondják, hogy a fenti és az alatta levő szekvenciát korlátoznák. Így az xn> numerikus szekvencia korlátos, ha aR és bR számok vannak. hogy minden n számára a feltétel a
A fenti (korábban) határolt szekvenciát fentről (alulról) nem korlátozzák, és a nem határolt szekvenciának határtalan. A nem korlátozott szekvenciákra példa a végtelenül nagy szekvenciák (lásd: 5.1. Szakasz, 3. meghatározás). Meg kell azonban jegyezni, hogy nem minden határtalan sorrend végtelenül nagy. Így a szekvencia
korlátlan, de nem végtelenül nagy.
Tétel. Ha a számsorozatnak véges korlátja van. akkor határolódik.
Hagyja az xnR sorozatot. n = 1, 2. egy véges határ = aR. Ezután a szekvencia korlátjának meghatározása szerint (lásd az 5.1., 1. definíciót), figyelembe véve a = 1 értéket, megkapjuk, hogy létezik n1 szám. hogy minden n> n1 számnál a nem egyensúlyi
(a szekvencia korlátjának meghatározásánál bármely> 0, amit vettünk = 1, 51. ábra). Jelölje d-vel a legnagyobb számot 1, | x1 - a |. . Aztán nyilvánvalóan az állapot (5.29), mindenkinek
nN, egyenlőtlenség
Ez azt jelenti, hogy az xn> szekvencia korlátos.