Dupla integrál
A kettős integrálokat eredményező problémák
A henger térfogatának problémája. Tekintsünk egy olyan testet, amelyet egy z = f (x, y) felülettel határolunk, egy S-alapú Oxy-síkban. és egy hengeres felületet az Oz tengellyel párhuzamos generátorral. és a vezetővonalat, amely az S régió határa (1. ábra (a)). Az ilyen testet hengeresnek nevezik. Meg kell számolni a henger térfogatát.
A probléma megoldására, ossza el a tartomány az S (ábra. 1 (b)), a hálózat a ívek egy véges számú elemi régiók (δS1), (δS2), ..., (δSn), a terület, amely jelöli δS1. δS2. ..., δSn. Az egyes elemi régiókban (δSk) (k = 1, hellip, n) tetszőleges pontot választunk tetszőleges Mk (xk, yk) pontnak, és a függvény f (xk, yk) pontján a függvény értékét megszorozzuk a δSk régió területével. A f (xk, yk) δSk termék megegyezik egy δSk alapterületű hengeres test térfogatával és hk = f (xk, yk) magassággal. Az összes ilyen termék összege egy lépcsős hengeres test Vn térfogatát fejezi ki, amely megközelítően a henger alakú helyére,
Az elemi tartomány (δSk) átmérőjét dk-vel jelöljük. és a legnagyobb átmérő λn. azaz. Nyilvánvalóan, ha λn → 0. akkor n → ∞.
A henger térfogata a megfelelő lépcső térfogatának határértéke λn → 0 esetén.
A lemez tömegének problémája. Tekintsük az Oxy sík S területét. amelyet egy zárt vonal határol, amelyben egy p = f (x, y) ≥ 0 sűrűségű anyag kerül elosztásra, ilyen területet lemeznek neveznek. Meg kell számolni a lemez tömegét.
Az S tartományt ívek hálózatával osztjuk el az elemi régiókra (δS1), (δS2), ..., (δSn), amelyek területét δS1 jelöli. δS2. ..., δSn. Tegyük fel, hogy minden δSk elemi régióban a sűrűség állandó és egyenlő a régió Mk (xk, yk) pontjának sűrűségével, vagyis pk = f (xk, yk). Ezután a termék f (xk, yk) δSk fejezi ki az elemi lemez (δSk) hozzávetőleges tömegét, és az összes ilyen termék összege az egész lemez hozzávetőleges tömege mn.
Az egész lemez pontos tömegét úgy kapjuk meg, hogy a határértéket λn → 0 értékre megyünk. ahol λn a legnagyobb a dk átmérője (δSk) :.
Így két különböző probléma vezetett egy és ugyanazon kétdimenziós integrált összeg határértékének megfontolásához. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy bemutassuk a kettős integrál általános fogalmát.
A kettős integrál definíciója
Tekintsük a z = f (x, y) függvényt. az S tartományban határolt zárt görbével határozzák meg. Az S tartományt az ívek hálójával osztjuk el δS1 területekre n elemi régiókra (δS1), (δS2), ..., (δSn). δS2. ..., δSn. Az egyes elemi régiók (δSk) (k = 1, ... N) válasszon egy tetszőleges egy pontot Mk (xk, yk), és az értéke a függvény a f pont (xk, yk) szaporodni δSk területen. Vegyük össze az összes ilyen termék összegét
amelyet az "S" domain fölötti f (x, y) függvény integrális összegének nevezünk.
Az elemi tartomány (δSk) átmérőjét dk-vel jelöljük. Legyen λn a legnagyobb az összes átmérő, azaz.
Definíció. Az I számot az integrál összegének a λn → 0 határára hívják. ha bármely ε> 0 számra van egy szám δ> 0, hogy λn esetén <δ выполняется неравенство |I-In | <ε независимо от выбора точек Mk (xk ,yk ) в элементарных областях (δSk ).
Definíció. Egy f (x, y) függvény kettős integrálja egy S tartományon belül az λn → 0 integrális összegének határa.
Az f (x, y) függvényt integrandnak nevezzük, és az S tartományt az integrációs tartománynak nevezzük.
Az (S, S) függvény f (x, y) függvényének kettős integrálját az S tartományon kívül a következőképpen is jelezzük:
Jóváhagyása. Határ van akkor, ha a z = f (x, y) függvény folyamatos, zárt tartományban van.
Ha létezik egy adott határérték, akkor az f (x, y) függvény integrálható az S tartományban.
Így azt találtuk, hogy egy henger térfogatát a következőképpen fejezzük ki:
A kettős integrál geometriai jelentése. Az (S, S) függvény f (x, y) függvényének kettős integrációja egyenlő az S bázisú hengeres térfogatával és a fentiekben korlátoltan z = f (x, y) felülettel.
A lemez tömegét a következő képlet adja meg:
A kettős integrál fizikai jelentése. Ha a nem negatív függvény p = f (x, y) fejezi ki az S lemez felületi sűrűségét, akkor annak tömege megegyezik az adott függvény kétszeres integráljával az adott régióban.
A kettős integrál tulajdonságai
- 1) Ha az F (x, y) és φ (x, y) függvények integrálhatók az S tartományban, akkor összegük és különbségük integrálható, és
ahol S a régió (S) területét jelöli.
A kettős integrál számítása a négyszögletes Descartes-koordinátákban
Téglalap alakú régió esetében. Engedje meg, hogy kiszámítsa a kettős integrált értéket
ahol a P tartomány egy téglalap, amelyet az a ≤ x ≤ b egyenlőtlenségek határoztak meg. c ≤ y ≤ d (2. ábra). Tegyük fel, hogy f (x, y) ≥ 0, és ebben a négyszögben folytatódik, akkor ez a kettős integrál megegyezik a test alapanyagának térfogatával. A felül lévő z = f (x, y) felület. oldalról - síkok x = a. x = b. y = c. y = d.
Másrészt a test térfogata, ahol S (x) az adott test keresztmetszeti területe az x ponton áthaladó és az ox tengelyre merőleges síkkal.
Mivel a vizsgált szakasz egy görbe vonalú trapéz, amelyet a z = f (x, y) függvény grafikonja korábban határol. ahol x fix, c ≤ y ≤ d. akkor a meghatározott integrál geometriai jelentésétől függően:
Itt a jobb oldali integrálist az ismételt integrálnak nevezzük.
Így a kettős integrál kiszámítása két meghatározott integrál kiszámítására lett csökkentve; A "belső" integrál (szögletes zárójelben) kiszámításakor az x feltételezett állandó.
Megjegyzés. Ez a képlet igaz minden f (x, y) függvényre.
Az ismétlődő integrál az alábbiak szerint van jelölve:
Hasonlóképpen megmutatható
vagyis az integráció eredménye nem függ az integráció sorrendjétől.