A differenciálegyenletek rögzítése a Cauchy normál formájába
A differenciálegyenletek rögzítése a Cauchy normál formájába.
Számos probléma megfontolása során célszerű, ha az egydimenziós és többdimenziós rendszerek egyenleteit normál rendszer formájában írjuk le. A rendes rendszert vagy rendszert normál formában az elsőrendű differenciálegyenletek rendszerének nevezik, amelyeket a származékok tekintetében megoldanak. Különösen a lineáris differenciálegyenletek rendes rendszere egy rendszer
A mátrix formában, mint a
A mátrixoszlopokat vektoroknak is nevezik. A vektor x nevezzük fázis vektor vagy állapot vektor és annak koordinátái - fázis koordinátákat. A vektor és az úgynevezett vektor vezérlés, vagy egyszerűen irányítható és koordinátái - Ellenőrzési paraméterek: a vektor úgynevezett vektor zavarása vagy csak felháborodást, és a koordináta-- zavar vagy zavaró hatása.
Az inhomogén egyenlet (2.74) mellett a homogén egyenletet is figyelembe vesszük
Legyen lineárisan független megoldás ebben az egyenletben. Bármelyik ilyen rendszert az egyenlet megoldásainak alapvető rendszere (2.75) nevezzük. Mi alkotjuk a mátrixot, feltételezve, hogy az oszlop a megoldás az alapvető rendszer:
Ez a mátrix az egyenletek alapmátrixának (2,73) - (2,75). Ha az alapmátrix egységmátrixra változik, akkor normalizálódik. Egy tetszőleges alapmátrix használatával $ (0) normalizált (mi jelöljük azt a
A normalizált alapmátrix alkalmazásával az összes inhomogén egyenlet (2.74) megoldása a reláció
amelyet Cauchy-képletnek neveznek. Ennek a képletnek a érvényességében könnyen ellenőrizhető a (2,74) direkt szubsztitúció, a mátrixegyenlet használatával
amely minden esetben érvényes Ez az egyenlet abból következik, hogy az alapmátrix minden oszlopa (2,75).
Megjegyezzük a normalizált alapmátrix számos alapvető tulajdonságát. A (2.76) használatával bármelyik u esetében könnyen megkapjuk a következő egyenlõségeket:
Ha az A mátrix állandó, az alapvető mátrix függ csak a különbség formájában úgynevezett exponenciális mátrix funkcióval mátrix vagy mátrix által meghatározott összege exponenciális sorozat
Tekintsük az egyenlet konjugátumot (2,75):. Ha az egyenlet normalizált alapmátrixa,
akkor a Cauchy-képletet formában ábrázolhatjuk
Valóban, megkülönböztetjük az identitást, amit megkapunk