Permutaciók és transzpozíciók
Az első n természetes számok elrendezése növekvő sorrendjükben referenciaként definiálódik, és ezeknek a számoknak bármely más elrendezése a "normál" elrendezés permutációja.
Kiderült, hogy egy tetszőleges permutációját ezek a számok is nyerünk normál permutáció által egy bizonyos számú átültetések, azaz változtatni a helyzetét egy pár permutáció az elemek, miközben a helyzet a fennmaradó elemekből.
Tekintsük a természetes számok S-t 1-ről n-re. növekvő sorrendben rendezve (természetes sorrendben):
Az S sorozathoz tartozó permutálással értjük a számok sorát, amelyet más módon rendeltünk el:
A permutációt átültetésnek nevezzük. ha a készletnek csak két eleme van kicserélve, míg a fennmaradó elemek a helyükön maradnak.
Az S készlet bármely permutációját több transzpozíció segítségével lehet végrehajtani. Például egy permutáció a S szett három transzpozíciójának eredménye.
Azt mondják, hogy az S készlet permutációja az i j és i k elemek inverzióját tartalmazza. Ha megszegik az elrendeltségük természetes rendjét, pl. A nagyobb elem a kisebbek bal oldalán helyezkedik el:
Például a permutáció az elemek három inverzióját tartalmazza:
2. és 1.,
4. és 1.,
4. és 3. ábra.
Az inverzok száma határozza meg a permutáció paritását. Az átutalást egyenlőnek nevezik. ha páros számú inverziós elemet tartalmaz. Egy furcsa permutáció páratlan inverz számot tartalmaz.
Megjegyezzük, hogy egy egyenletes permutáció a pusztán transzpozíciók páros számával a természetes rendhez alakulhat, míg a páratlan permutáció természetes rendhez való átalakításához páratlan számú transzpozícióra van szükség. (Ez az állítás az 1. tétel következménye. Lásd az "Átültetések és permutációk tételeit" című részt.)
Egy példa. A permutáció páratlan, mivel három elemet inverz.
Azt is mondhatjuk, hogy a permutáció páratlan, mivel három transzpozíciósorozat.