Lineáris programozás Simplex módszere
2.4. Téma Lineáris programozás Simplex módszere.
A lineáris programozás kétdimenziós problémái grafikusan megoldhatók. Az N = 3 esetben háromdimenziós térre lehet számítani, és az objektív függvény elérheti annak optimális értékét a poliéder egyik csúcsánál.
Az általános formája, amikor a probléma részt N ismeretlen, ezért azt mondhatjuk, hogy a megvalósítható által meghatározott régió rendszer korlátai, úgy tűnik, konvex poliéder n dimenziós térben, és egy optimális értéke a célfüggvény érjük el egy vagy több csúcsot. Megoldani ezeket a feladatokat grafikusan, amikor a változók száma több mint 3 nagyon nehéz. Van egy univerzális megoldási módja lineáris programozási feladatok, az úgynevezett szimplex módszer.
A szimplex módszer alapvető fontosságú a lineáris programozásban. A probléma megoldása a feltételes poliéder egyik csúcsainak megfontolásával kezdődik. Ha a szóban forgó csúcs nem felel meg a maximális (minimális) értéknek, akkor a szomszédosra lépnek, növelve a célfunkció értékét, amikor a problémát maximálisra csökkenti, és csökkenti azt, amikor a problémát minimálisra csökkenti. Így az egyik csúcstól a másikig történő átmenet javítja a célfunkció értékét. Mivel a polyhedron csúcsainak száma korlátozott, véges számú lépés biztosítja az optimális érték megállapítását, vagy annak megállapítását, hogy a probléma elháríthatatlan.
Ez a módszer univerzális, alkalmazható bármilyen lineáris programozási problémára kanonikus formában. korlátozások rendszerét itt - egy lineáris egyenletrendszert, amelyben az ismeretlen mennyiség nagyobb, mint ahány egyenlet. Ha a rendszer rangja r. akkor választhatunk ismeretleneket, amelyeket a fennmaradó ismeretlenek között fejezünk ki. Mert határozottságot, feltételezzük, hogy a kiválasztott első, egymást követő, ismeretlen X 1, X 2 X r. Ekkor az egyenletrendszerünk a következőképpen írható:
Ehhez az űrlaphoz bármilyen közös rendszert hozhat létre. például a Gauss-módszerrel. Igaz, nem mindig lehet kifejezni a fennmaradó első r unknowns-t (ezt a rekord végletességének érdekében tettük). Azonban feltétlenül vannak olyan ismeretlenek. Ezeket az ismeretlen (változókat) alapvetõnek nevezik, a többi pedig szabad.
Bizonyos értékek szabad változókhoz való hozzárendelésével és az alapváltozók (szabad változókon keresztül kifejezett) értékeinek kiszámításával különféle megoldásokat fogunk kapni a rendszerünk korlátainak. Így bármilyen megoldást kaphat. Érdeklődni fogunk abban az esetben, ha a szabad változók nullának felelnek meg. Az ilyen megoldásokat alapvető megoldásoknak nevezik. a számuk megegyezik a korlátozások rendszerének különböző alapvető típusainak számával. Az alapoldatot elfogadható alapoldatnak vagy támogató megoldásnak nevezik. ha a változók értékei nem negatívak. Ha az alapváltozók X 1. X 2. X r. akkor a megoldás 1. b 2. b r. 0. 0> egy támogató lesz, feltéve, hogy b 1. b 2. b r ≥ 0.
A simplex módszer egy olyan tételen alapul, amelyet a simplex módszer alapvető tételének neveznek. A lineáris programozási probléma kanonikus formában létező optimális tervei között feltétlenül van egy kényszerrendszer támogató megoldása. Ha a probléma optimális terve egyedi, akkor egybeesik néhány támogatási megoldással. A korlátozások rendszerének különböző támogató megoldásai végesek. Ezért a probléma megoldását kanonikus formában lehet keresni a támogató megoldások keresésével és kiválasztva azok között, amelyek esetében az F értéke a legnagyobb. De először is, minden referencia oldatok ismeretlen, és meg kell találni, a második, a valós alkalmazások ezeket a döntéseket, és sok nyers erő aligha lehetséges. A szimplex módszer a támogatási megoldások irányított keresésének egy bizonyos eljárása. Alapján néhány talált előre az összehasonlító oldatok egy bizonyos algoritmus szimplex módszer, kiszámítjuk az új referencia oldat, ahol a célfüggvény F-érték kisebb, mint a régi. Egy sor lépés után egy támogatási megoldásra érkezünk, ami az optimális terv.
Így a szimplex módszer határozott rendet vezet be mind az első (kezdeti) alapú megoldás megtalálása, más alapoldatok átadásával. Az ő ötlete a következő.
Rendszeres korlátok. általános formára redukálva, vagyis m lineáris egyenletek rendszerével n változókkal (m