Gyors számítás a szin
Gyors számítás a szin
A szinuszok táblázata, melynek érvei egy egység sugarának kerületét alkotják, nem a mai napi eredmény, hanem Ptolemaius 1800 évvel ezelőtt fejlesztette ki. A szinékek számításának hatékonyabb eljárása a számítógépes fejlesztők által végrehajtott beágyazott programok használatával összehasonlítva tanulmányozható a korábbi évszázadok tapasztalatai alapján.
Ptolemaiának az az elgondolása, hogy a durva és a kör pontos elosztásától váltson át. A elmélete szabályos sokszögek Ismeretes, hogy a húr hossza által bezárt az ív a központi szögek 60 és 12 °, illetve, ahol - a húr hossza subtending az ív egy központi szög a kerülete egységnyi sugarú. Ptolemai elegáns tétele szerint az adott központi szög különbségének megfelelő akkord hossza az összefüggésből
Az ismert értékek szerint Ptolemai tehát a középső sarkokhoz tartozó akkordok hosszúságát 12 ° -kal növelte. A kapott táblázat egyenértékű egy olyan táblával, amely 6 ° -kal osztható szögekből áll.
Összhangban a tétel Ptolemaiosz kimondja, hogy egy négyszög tetszőleges alakú (ábra. 8.6), a tetejét, amely feküdjön egy O középpontú kör, a egyenlőség négyszög alakú egy négyszögletes alakú, mint egy különleges eset, így a Pitagorasz tétel. Megkapjuk a Ptolemai tételt a szögeltérés szinuszához.
A 12 ° -os szög táblázata az ebben a könyvben elfogadott jelölésekkel összhangban megfelel az esetnek. A kört kisebb körforgásba való költözésre Ptolemaius bevezette az akkord hosszának meghatározására alkalmazott módszerrel egyenértékű módszert,
Ábra. 8.6. Ptolemaiosz tétel: AC • BD = AB • CD + AD • BC.
az ív felének meghúzása:
amely lehetővé tette az eredmények elérését 0,75 ° -os szögben és többszörös értékekben, ami N = 480-nak felel meg. Ez a módszer nem alkalmazható olyan szögekre, amelyek többszörösek 1 ° -kal. Ptolemaiosz azonban az egyenlőtlenségből jött
Figyelembe véve azt a tényt, hogy e két egyenlőtlenségből következtethetünk:
Mivel a jobb és a bal oldali részek közötti különbség a hatodik decimális helyről indul, ez durva közelítés, de a számítások pontosságát a Ptolemy módszerének fejlesztésével javíthatja.
Egy érdekes következtetést, hogy a húrt subtending íven 1 ° (vagy), további a partíció használata során szabályok két egyenlő részre Ptolemaiosz hagyjuk, hogy egy táblázatot a húrja hosszúságú intervallumok következő keresztül 0,5 ° (sine - minden 0,25 °), az ötödik tizedeshelyig. Mivel ez a táblázat megfelel az ügynek, megfelel a jelenleg használt FFT számítási programok követelményeinek.
Ha egy táblázat összeállítása elemekkel kezdődik, pl. a 0, az alábbi intervallumok 22,5 °, lehetséges, hogy menjen az asztalhoz elemekből álló következő keresztül 11,25 °, kiszámításával a szinusz az egyes közbenső értékek az érvelés 0 alapján bizonyos függvény értékei képlet a különbség az űrlap
A korrekciós tényező egy olyan képletből állítható elő, amely meghatározza az akkord hosszát, amely az eredeti ív felét veszi fel; ennek a képletnek a kezdeti értéke: Így:
Ezt a rekurzív képletet az 1. függelékben megadott programban használják.
A koszinusz táblázat összeállítása külön kérdés. A következő részben bemutatjuk, hogy ajánlatos egy táblázatot az értékekről, ilyen táblázat jelenlétében a koszinuszok beszerezhetők
Azonban nincs szükség kifejezetten a koszinuszok kiszámítására, mivel ez helyett félszög-érintőkkel használható, ami a gyakorlatban célszerű.