Integrálás paramétereit
pont szomszédságában U y 0, hogy minden y ˙ U ∩ Y minden x X egyenlőtlenség | f (x, y) - φ (x) | <ε .
Lemma 4.2. Az egyenletes konvergencia azt jelenti, pont.
Megjegyzés. Az ellenkezője nem igaz, egy példa: f (x, y) = x y a [0; 1] 2.
Azt mondják, hogy az f (x, y) konvergál egyenletesen X ha Y → y 0. Ha van egy határ a ponton, és egy egyenletes konvergenciája, hogy egy pont ezt a határt.
Tétel 4,26 (Bolzano Cauchy-teszt). f (x, y) konvergál egyenletesen X
ha Y → y 0, ha, és csak akkor, ha minden ε> 0, létezik olyan U környezete pont y 0, hogy minden y 1 2 y U ˙ ∩ Y minden x X egyenlőtlenség | f (x, y 1) - f (x, y 2) | <ε .
Következmény 4.6 (Bolzano Cauchy kritérium szekvenciák). fn (x) konvergál ranomerno az X, ha n → ∞, ha, és csak akkor, ha minden ε> 0 létezik NN olyan, hogy minden n> N és bármely p egész, az | fn (x) - f n + p (x) | <ε.
Tétel 4.27. f (x, y) φ (x) akkor és csak akkor, ha minden posledo-
egymást követő y n → y 0. fekvő Y. egyenletesen konvergálnak
4.6. Integrálás paraméter
Tétel 4,28 (Dini tétel). Legyen f (x, y) kielégíti a következő feltételeket: 1) f (x, y) folytonos az x, amikor y Y;
2) f (x, y) monoton Y minden egyes X X;
3) f (x, y) konvergál pontonkénti a φ (x) a y → y 0;
4) φ (x) folytonos az x;
5) X zárt és korlátos (kompakt).
[Szekvenciák első proving]
x pont 0. Ekkor φ (x) folytonos az x 0.
[Igazoljuk első szekvencia]
Mert folytonos függvények halmaza X, beállíthatja a sebesség:
Egy még általánosabb esetben (a funkció nem lehet folytonos) seminorm ilyen funkciós készletek. Konvergencia a tér funkciókat egy seminorm egyenértékű egyenletes konvergenciája.
Tétel 4.30. f (x, y) φ (x) akkor és csak akkor, ha a Kf (x, y) -φ (X) k ∞ → 0
Tétel a bankközi határértékeket.
Tétel 4.31. Ha f (x, y) φ (x) és minden egyes pont y létezik pre-
Affairs lim f (x, y). az
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y).
4.6.2 saját integrálás paraméter
Legyen f (x, y) van definiálva az [a; b] × Y 0 és y - határpont Y. Tegyük fel, sőt, az f (x, y) integrálható az [a; b] minden egyes jelölik y Y.
4.32 Tétel (limit és szerves átültetés). Ha f (x, y) folytonos