Abszolút és feltételes konvergencia sorozat
Váltakozó sorozat egy speciális esete a váltakozó sorozat.
Definíció 2.2. Numerikus sorozat. amelynek tagjai, miután minden szoba különböző jelek, az úgynevezett váltakozó.
A váltakozó sorozat a következő általános elegendő a konvergencia.
Tétel 2.2. Tegyük fel, hogy kapnak egy váltakozó sorozata
Ha a sorozat tagjaiból a modulok száma
konvergál önmagában váltakozó sorozat (2.2).
Meg kell jegyezni, hogy az ellenkezője nem igaz: ha a sorozat (2,2), ez nem jelenti azt, hogy ott lesz a sorozat (2.3).
Meghatározás 2.3. Váltakozó sorozat nevezzük abszolút konvergens. ha a sorozat, amely a modulok tagjai konvergálnak.
Váltakozó sorozat nevezzük feltételesen konvergens. ha konvergál, és a sorozat modulokból álló tagjainak elágazik.
Között váltakozó sorozat abszolút konvergens sorozat egy különleges hely. Ezek sorozat számos olyan tulajdonsággal, hogy az állami bizonyíték nélkül.
- Ha a sorozat abszolút konvergens és egy összeget. akkor a sorozatot nyert meg átrendeződéssel is konvergál, és ugyanazt az összeget. Az eredeti sorozat (Dirichlet-tétel).
- Abszolút konvergens sorozat összegek és termwise add (kivonás). Az eredmény egy abszolút konvergens sor, amelynek összege egyenlő (vagy sorrendben).
- A termék a két sor, és hogy az olyan fajok száma:
A termék két abszolút konvergens sorozat összeg abszolút konvergens sor, amelynek összege egyenlő.
Így, abszolút konvergens sor összeadódnak, kivonjuk, szorozva, mint közönséges számokat. Az összeg ilyen sorozat nem függ a megrendelés felvétel tagjai.
Abban az esetben, feltételesen konvergens sorozat megfelelő állításával (tulajdonságok), általában nem fordul elő.
Így mozog a tagjai, feltételesen konvergens sorozat, lehetséges, hogy az összeg a változás. Például egy számot alapján feltételes konvergál Leibniz. Hagyja az összeg ez a sorozat. Átírni tagjai úgy, hogy a két fog menni után negatív egy pozitív távon. megkapjuk a számát
Összeg a felére csökken!
Sőt, átrendezésével feltételesen konvergens sorozat kaphat konvergens sorozat, amelynek előre meghatározott mennyiségű vagy eltérő sorozat (Riemann-tétel).
Ezért az intézkedés a sorozat nem állítható elő, anélkül, hogy az abszolút konvergencia. Annak megállapítására, az abszolút konvergencia segítségével minden jelét konvergenciáját numerikus sorozat pozitív értelemben, lecserélve az általános értelemben az egység.
Példa 2.1. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
Határozat. Váltakozó az eredeti sorozat. Tekintsük a sorozat, amely az abszolút értékeinek szempontjából a sorozat, azaz a sorozat. Ettől. tagjainak száma hasonló nem több tagja a Dirichlet sor. amelyről ismert, hogy konvergál. Ezért ez a sorozat konvergál abszolút alapján az összehasonlító vizsgálatot.
Példa 2.2. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
Határozat. 1) adott váltakozó sorozat. Mi használjuk a jele Leibniz. Megnézzük, hogy ha a feltételek teljesülnek.
Ezért a forrás sorozat konvergál.
2) Tekintsük a sorozat, amely az abszolút tagság. Megvizsgáljuk neki konvergencia, a d'Alembert-féle teszt
Alapján a d'Alembert álló sorozat az abszolút tagok konvergálnak. Ennélfogva a forrás váltakozó sorozat konvergál teljesen.
Példa 2.3. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
Határozat. 1) adott váltakozó sorozat. Mi használjuk a jele Leibniz. Megnézzük, hogy ha a feltételek teljesülnek.
Ezért a forrás sorozat konvergál.
2) Tekintsük a sorozat, amely az abszolút tagság. Megvizsgáljuk őt a konvergencia segítségével limit jel összehasonlítása. Tekintsük a harmonikus sor. amely eltér.
Következésképpen, mindkét sorozatban viselkednek azonosan, azaz álló sorozat az abszolút tagjai is eltér. Ennélfogva, a forrás hagyományosan váltakozó sorozat konvergál.
Példa 2.4. Fedezze fel a konvergencia a sorozat.
Határozat. Ez a sorozat a váltakozó. Mi használjuk a jele Leibniz. Megnézzük, hogy ha a feltételek teljesülnek.
Következésképpen, a forrás eltér.
Példa 2.5. Összegét számolja ki a számot pontossággal.
Határozat. Ez a sorozat a váltakozó. Alapján Leibniz, ez a sorozat konvergens. Ezért, amikor értékének kiszámításakor az eldobott maradék számot, ami szintén váltakozó egymás mellett, nem haladja meg az első elhanyagolt távon (alapján vizsgálat jellemző Leibniz).
A szükséges számú tag fogja találni kiválasztásával egyenlőtlenség. Amikor az utolsó egyenlőtlenség, az azt jelenti, hogy ha elvetjük a száma minden tagja, kezdve a hatodik, a szükséges pontosság érhető el. ezért
3. MŰKÖDÉSI ÉS
Meghatározás 3.1. Hagyja, hogy a meghatározott feladatok a tartományban. Ezután kifejezése a forma
Ez az úgynevezett funkcionális közelében.
Amely konkrét értékeket. Kapjuk számsorozatok
amely lehet konvergens vagy divergens.
Definíció 3.2. Ha a numerikus sorozat konvergál. akkor a sorozatot nevezzük konvergens ponton. és a lényeg maga az úgynevezett találkozási pont a sorozat. Az értékrend. amelyben a sorozat (7.1) konvergál az úgynevezett régió a konvergencia funkcionális sorozat.
A tartomány konvergencia funkcionális sorozat jelöljük. Általános szabály, hogy a régió nem esik egybe a környéken. amint az alcsoport, vagyis .
Példa 3.1. Keresse meg a területet a konvergencia funkcionális sorozat
Határozat. A domain a funkció - azt.
Ez a sorozat egy tagja mértani haladvány arányt. Az ilyen sorozat konvergens, ha.
Ezért ennek a régiónak a konvergencia a tesztsorozat egy intervallum. Így.
Mivel minden megfelel egy bizonyos számú - az összeg egy számsorozat, akkor a levelezés határozza meg a funkciót. amely az úgynevezett összege a sorozat (3.1) a régióban. Az összeg a funkcionális sorozat a területen konvergencia határozza
ahol - edik részleges összegeket a funkcionális sorozat.
Ebben az esetben - van th többi funkcionális sorozat. A területen a konvergencia a sorozat.
3.2 példa. Keresse meg a területet a konvergencia, és az összeget a funkcionális sorozat
Határozat. Ez a sorozat egy mértani haladvány arányt. Ezért ez a sorozat konvergál. azaz egyáltalán. Így a régió a konvergencia.
A területen a konvergencia funkcionális sorozat találunk az összeget. A képlet szerint az összeg egy mértani amikor megkapjuk
Között számos olyan funkciót a matematika és alkalmazásai szerepe különleges helyet, amelynek tagjai hatalmi függvényjel.
Meghatározás 3.3. A teljesítmény sorozat egy sor funkciót a forma
ahol - állandók, az úgynevezett együtthatók a sorozat. - egy fix szám.
Ha kapsz egy hatványsor formájában
A sorozat (3.2) könnyen csökkenthető egy sor (3.3) Ha beállítottuk. Ezért a tanulmány hatványsorok olykor korlátozott teljesítmény sorozat (3.3).
Nézzük a kérdés tisztázása konvergencia hatványsor (3.3). Field a konvergencia e hatványsorok tartalmaz legalább egy ponton (a sorozat (3.2) konvergál egy ponton).
A régió konvergencia hatványsorba lehet megítélni alapján az alábbi tétel.
3.1 Tétel (Abel tétel). Ha a hálózati sorozat (3.3) konvergál a ponton. akkor konvergál teljesen egyáltalán. kielégíti az egyenlőtlenséget
Bizonyítás. Tekintsünk egy számsorozat. amely konvergál állapotot. Következésképpen alapján a szükséges konvergencia. Ezért minden tagja a sorozat korlátozott teljes egészében, azaz létezik egy pozitív állandó. hogy az összes egyenlőtlenség.
Írunk száma (3.3) az alábbiak szerint:
és a forma abszolút tagok száma
Mivel a létrehozott egyenlőtlenség az egyes tagok kevesebb, mint a megfelelő elem exponenciálisan a nevező:
Ha. és a progresszió konvergál. Ezért a konvergencia a sorozat, alkotja az abszolút értékek. Tehát abszolút konvergens sor (3.3).
Annak ellenére, hogy. Nem tudjuk azonnal használhatja a szolgáltatásainak összehasonlítása, mint a tétel nem mondja, hogy a szám a ponton konvergál teljesen.
Következmény. Ha a hálózati sorozat (3.3) divergál egy ponton. amennyivel eltér és mindenkorra. kielégíti az egyenlőtlenséget