Euler-egyenlet - stadopedia
Térjünk vissza a variációk kalkulusának problémájához; az összes közeli görbe között megtaláljuk azt a függvényt, amelyre a feltétel (4.2) teljesül.
Tegyük fel, hogy a feltétel (4.2) feltétel teljesülése ismert. Jelölje meg. Hagyja az optimális és nem optimális görbék kezdetét és végét egybeesni (lásd a 4.2. Ábrát). Az első sorrendben közeli görbék esetében a görbék csak a lejtő meredekségeinél különböznek, azaz első származékok. Aztán nem optimális görbét írhatunk
hol van egy kis szám;
Van egy önkényes sima funkció, amely eltűnik az idő kezdeti és végső pillanataiban;
Ezt nevezik a függvény változatának.
Ezt szem előtt tartva a funkcionális (4.1.) A következő formában írható:
Egy függvény optimalitása (végletesség) szükséges feltétele, hogy az első változóhoz tartozó származék nulla. Keressen és egyenlő legyen nullával.
Tekintettel arra, hogy; a (4.3) kifejezést a következő formában ábrázolhatjuk:
Tekintsük a második kifejezést.
Az integrálok tulajdonságait használjuk
Akkor jelentsd. Azt is megtaláljuk (4.4). Ehhez az időhöz képest különböztetünk meg :. Ahonnan ezt követi. Mert akkor.
Ezután a második kifejezés a következőképpen írható:
A szorzó hipotézis szerint.
Használjuk a Lagrange lemmát. ha minden egyes folytonos függvényben u az integrál mindenhol nulla, akkor vagy, vagy. A feltétellel ezt elfogadtuk. Aztán. Ezt szem előtt tartva tudjuk ezt leírni
A kapott egyenletet (4.6.) Az Euler-egyenletnek nevezzük.
Ezután az Euler-egyenlet kiterjesztett formában a következő alakú:
Így az Euler-egyenlet (egy másodrendű differenciálegyenlet) megoldása két határfeltétel mellett megtalálható az optimális vezérléshez. Ezt a funkciót extremálisnak nevezik.