Hosszának meghatározására a görbe
17.3. Meghatározása a görbe hossza. rectifiable görbék
Hossz szerint értjük a görbe szuprémum hosszúságú feliratos a sokszögű görbe. Nézzük megfogalmazni ezt a meghatározást részletesebben. Először a koncepció a partíció az intervallum - egy olyan fogalom, amely többször fordul elő a jövőben.
2. meghatározása, az [a, b] ti pont minden rendszerben. i = 0, 1, 2. ir. oly módon, hogy
ez az úgynevezett egy partíciót.
Legyen egy görbe
hagyja - a partíció az [a, b]. tesz
azaz - .. a hossza a szaggatott vonal a csúcsot pont Mi. végei sugara vektorok r (ti), i = 0, 1, 2. ir. más szavakkal, a szaggatott vonal feliratos a görbe T (ábra. 93).
Meghatározás 3. A felső határa valamennyi lehetséges hosszúságú sokszögű feltüntetik egy görbe az úgynevezett a hossza.
Így a hossza T SG a görbe által meghatározott képlettel
ahol a felső korlát veszi át az összes lehetséges partícióját [a, b]. Nyilvánvaló, 0
Tétel 1. Ha a görbe r = r (t); egy
Először is, figyelembe, hogy azért, mert a folytonosság az [a, b] származékot R '(t) numerikus függvény | r' (t) | is folyamatosan ezen intervallum, és ennek következtében korlátozott, és azon a legnagyobb értéket rajta. Ezért létezik egy számot <+ .
Tegyen meg minden partíciót, az [a, b]. Ezután a nyilvánvaló vektor identitás
és alkalmazása 1. Tétel n. 16.2 kapjunk
ahol ti -1
Ezt követően az egyenlőtlenség a felső határa az összes lehetséges partícióját [a, b], megkapjuk a meghatározás (17,19), az egyenlőtlenséget (17.20)
Ennélfogva az SG <+ , т. е. кривая Г спрямляема.
2. Tétel Ha a görbe r = r (t) = (X (t), y (t), Z (t)); egy
ahol c - a legnagyobb értéke | r „(t) | az intervallumot a végpontok t és t + t. Jelölje = (t) a szegmens pont, ahol
Megjegyzés 1. Ha az ív hossza az F görbe mérjük annak végén, SG = - s, és ezért,
d / ds = -1, tehát,
Megjegyzés 2. Ha egy folyamatosan differenciálható görbe r = r (t); egy
(R „(t) 0, az [a, b]), amely, a T - .. egy sima görbe alapján, a változó ívhossz Tétel 2 s = s (t), mért elejétől M (a) görbe az F, folyamatosan differenciálható, szigorúan növekvő függvény a származék, pozitív minden pontján a [a, b]: s (t) = | R „(t) |> 0.
Mivel az S (a) = 0, s (b) = SG. akkor az inverz függvény t = t (s) egyértelmű, szigorúan növekvő folyamatosan differenciálható az [0, SG] és
Így annak bármely sima görbe paraméter egy szigorúan növekvő függvény folyamatosan differenciálható változó ív hossza, és a származék ez a funkció sehol nulla.
Következésképpen, a függvény t = t (s) egy érvényes transzformációs paraméter abban az értelemben. 17.1 és következésképpen a sima görbe, mint a paraméter is eltarthat egy változó hosszúságú annak ív. Mindebből az is következik, hogy van értelme a származékos
dr / ds csak vektor numerikus dt / ds faktor a tangens vektor dr / dt 0, és ezért szintén tangenciálisan irányított. Azt állítják, hogy a vektor dr / ds egy egységvektor.
Tétel 3 Ha a görbe r = r (ek); 0
Tól képletű (17,24) a t = s, mi
Ami a paraméter vehet egy sima ív hossza a görbe egyenlete (17,32) teljesül sima íveket.
Magyarázza meg a geometriai jelentését egyenlet (17,32).
Összekötő szakasz két pontot a görbe, az úgynevezett egy akkordot. subtending az ív a görbe végpontjai ezeken a pontokon. Tegyük fel, hogy a görbe sima és T r (ek), 0
A s 0, van
t. e. az arány a húrhossz a hossza ív összehúzódni hajlamos egységét s = 0.
3. megjegyzés: A koordináták az összes egység vektor a iránykoszinuszokat a szögeket, hogy ez képezi a koordináta-tengely. Ezért, ha hagyjuk, hogy a szögek képező a koordináta tengelyeket az x változó. Y és Z egység vektor dr / ds. az