Alkalmazása a Fourier-transzformáció
t. e. megvan a egyenlőségre
Természetesen azt feltételezzük, hogy a tagok az egyenlet (1) és (2) nem megfelelő integrálok léteznek.
5.12.1. Hőegyenletre. Példaként a szinusz-transzformáció úgy hőegyenletre (lásd § 5.5.) Ahhoz, hogy egy félig végtelen rúd:
alatt peremfeltétel
és kezdeti feltétel
Hisszük, hogy mikor. Ez nem mond ellent a fizikai okok miatt. Ezért vagyunk feltételeit a lehetőségét, hogy a szinusz transzformáció.
- sine átalakítani a kívánt oldatot a fenti probléma.
Szorzás egyenlet (3) által és integrálása egy 0-tól kapjuk (segítségével (4) - (6))
Így csökkentették a problémát, hogy az oldat egy közönséges elsőrendű lineáris differenciálegyenlet. Egy korlátozott oldatot egyenlet (7) eleget tesz a feltétel (8) formájában van
A inverziós formula (lásd. (3) § 4,13) ad
Mint tudjuk (lásd. A könyv „magasabb matematika. Megkülönböztető és integrálszámítás» § 6.10), az integrál konvergens és ráadásul (lásd. 2. példa alább § 6.14),
Érdemes ellenőrizni, hogy a függvény (11) nem elégedettek egyenlet. Ha vizsgálatra van szükség, hogy igazolja a legitimitását differenciálódás tekintetében az adott paraméter nem megfelelő integrálok.
Amikor az integrál a jobb oldalán (11) van, tekintettel a (10). Ezért a kezdeti feltétel (5).
Ha ez az integrál értéke nulla, és m. E. A határfeltétel (4).
A integrál (11) konvergál, mert
Differenciálás formális egyenlőség (11) képest, megkapjuk
Annak érdekében, hogy igazolja a legitimitását formális differenciálás, akkor be kell állítani egy tetszőleges időközönként változik, hol és annak bizonyítására, hogy az integrál (12) konvergál egyenletesen ezen intervallumban rögzített (lásd. 2. tétel, § 2.15).
Mivel tehát a fix az egyenlőtlenség
ahol a szerves jobb konvergál, és nem függ. De akkor az integrál (12) és egyenletesen konvergál a formális differenciálás (11) jogos, és a (12) formula nem kerül sor (lásd. § 2,15, p. 198).
Hasonlóképpen indokolt a legitimitását formális differenciálás a készítmény a parciális derivált.
Hasonló módon, a komplex Fourier-transzformáció, meg tudjuk oldani a problémát a hővezető végtelen mindkét oldalán a rúd (lásd. § 5.6, ahol az oldat úgy kapjuk meg, a Fourier változók).
5.12.2. Egyenlet ingadozások korlátlan szálakat. Mint már azt a § 5.7, az egyenlet egy rezgő húr formában van
Nézzük megoldani a (13) egyenlet a kezdeti feltételek
Feltételezzük, hogy a függvény olyan, hogy minden számítás, hogy lesz alább jogszerű.
- komplex Fourier-transzformáció (inverz) funkció.
Beépítve a részek (feltételezve, hogy eltűnnek a), megkapjuk
Szorzás (13) egyenlet és onnan a kezdeti feltételeket (14) és integrálása egy tartományban, hogy segítségével (15) megkapjuk a kiegészítő egyenletet
A kezdeti feltételek vannak írva
Megoldása egyenletet (16) (egy közönséges differenciálegyenlet a másodrendű állandó együtthatós), megkapjuk
A inverziós formula (lásd. (19) § 4,12) ad
Tehát megvan, hogy