Inkompatibilis rendszerek lineáris egyenletek
Tekintsük a inkompatibilis rendszerek lineáris egyenletek
viszonylag ismeretlen. Mivel a rendszer (5.6) nincs, akkor az azt jelenti, hogy nincs ilyen számok halmaza. amely ha szubsztituált (5,6) helyett az ismeretlen fizetne minden egyenlet azonosság.
Behelyettesítve a különböző számok halmaza az ismeretlenek bal oldalán egyenleteket (5,6), megkapjuk számsorral.
Szükséges, hogy talál egy számsor. hogy az átlagos négyzetes eltérés az egyes számú adat értékek. azaz kifejezés értékével
volt a legalacsonyabb, mint más lehetséges értékeket. Figyeljük meg, hogy az a követelmény, hogy megtalálják a legkisebb érték (5,7) olyan követelmény, hogy megtalálják az együtthatók. amelyre az abszolút hiba értékek valamilyen értelemben kicsi együtt.
A probléma megoldására mutatunk be a vektorok. amelynek az összetevői az együtthatók az oszlopok, illetve, hogy van,
Jelöljük lineáris kombinációja a vektorok (5,8), úgy, hogy
ahol a számok bármilyen értéket felvehet.
A készlet minden lineáris kombinációi (5.9) képeznek egy altér. A geometriai szempontból egyértelmű, hogy az expressziós (5.7) veszi a legkisebb érték, ha a vektort merőlegesen a altér proektsiivektora. ami azt jelenti, hogy a vektor ortogonálisnak kell lenniük az egyes vektorok. azaz az egyenlőség
Cseréje a vektor összes egyenletet (5.10) a megfelelő kifejezést (5.9) és a műveletet végző nyilvánvaló, megkapjuk egy lineáris inhomogén egyenletek az ismeretlen.
Mivel a probléma egyedi megoldást, a meghatározó a rendszer (5.11)
Ez eltér a nulla, és ezért, a tétel Cramer kapjuk a kifejezéseket az együtthatók.
Ebből következik a fentiekből, hogy a kapott számok halmaza megoldja a problémát.
Legkisebb négyzetek módszerével
A gyakorlatban ez gyakran ilyen probléma: köztudott, hogy az érték lineárisan függ az értékeket úgy, hogy az egyenlő
de az együtthatók ismeretlen. Ezeket meghatározni gyártott azonos pontosságú mérést (itt) értékét. vagyis az ismert szám és a megfelelő mérési értékeket. vagyis az ismert számot. Ez azt jelenti, hogy el kell végezni a rendszer (5.6). De mivel ismeretlen hiba a mérések, a rendszer, általában nem kompatibilis. Felmerül a probléma meghatározására együtthatók úgy, hogy minden egyenlet teljesül róla, de egy közös legkisebb hiba. Amennyiben az intézkedés a hiba, hogy a négyzetes középérték szórása értékeinek
ismert mennyiségben. azaz Expression (5,7), érkezünk a probléma megoldódott 2. §-ban.
A "Principles of Chemistry" DI Mengyelejev adja a kísérleti adatokat a nitrogén oldhatóságát-nátrium-hidrogén-szerint a víz hőmérséklete. A 100 rész vízben feloldunk az alábbi számú feltételes
alkatrészek megfelelő hőmérsékleten
Elméleti megfontolások alapján, ebből következik, hogy a mennyiségi szempontból ez a folyamat lehet által leírt egyenlettel
ahol - a hőmérséklet fokban - oldódnak a hagyományos tömegrész 100 rész vizet, és - ismeretlen. Behelyettesítve egyenlet (5.14) helyett a megfelelő számok a táblázatból, megkapjuk a rendszer hat egyenletek
következetlen. Összhangban a fenti Sec. 2 bemutatjuk a vektor 3
5. majd kiszámítja skalár termékek
Az egyenletrendszer (5.11) ebben az esetben valósul meg
eldöntésére, hogy ki fog kapni; . úgy, hogy a kívánt kapcsolat formájában
Ha helyettesíteni egyenletben vízhőmérséklet értékek a táblázatból, megkapjuk a sokféle hagyományos alkatrészek
azt jelzi, hogy jó egyezést mutat a kísérleti adatokkal.