exponenciális eloszlás
Tegyük fel, hogy valamilyen természetes vagy mesterséges tárgy kezdi meg a működését a T = 0 Mivel egy ilyen objektum lehet, például, úgy egy élőlény a születési időt, vagy bármely más időpontban a pont neki; működési mechanizmusa vagy tagja a mechanizmus, mivel a befogadás, és a hasonlók. d.
Legyen T - idő zavarmentes működése az objektum (élőlényt akkor ideje, hogy veszteség annak alkalmasságát egy adott tevékenységet, vagy a halálát, mert a mechanizmus lehet, hogy ideje az első törés vagy a végső kibocsátás előtt az ő kudarca, és t. d.). Szerint a jelentését, T - a folyamatos valószínűségi változók lehetséges értékeit T, amely lehet, elvileg bármely nem negatív szám :.
Most jelent a kézenfekvő kérdést, hogy mi a valószínűsége, hogy lesz egy különbség, ahol T egy adott tárgy - a beállított idő? Vagyis, mi fel a kérdést: mi a valószínűsége, hogy közben a T működő tárgy nem sikerül? Annak a valószínűsége, ezt jelöljük R (T) a funkció és a megbízhatóság:
Nyilvánvaló, hogy bármilyen operációs említett tárgy valószínűsége R (T) fenntartása annak hatékonyságát egy ideig T növelésévei csökken T, kezdve az 1 T = 0, és általában nulla. Továbbá, ahogy számos empirikus tanulmány sokféle tárgyak (technikai eszközök, természetes képződmények; .. élőlények, stb) a csökkenés a megbízhatósági függvény R (T) végezzük nagyjából exponenciális (exponenciális) jog
Ez a viselkedés a megbízhatósági függvény R (T) is nevezik az exponenciális törvénye megbízhatósága (2.16 ábra).
Tisztázza a jelentését egy paraméter esetében exponenciális megbízhatósági törvény. Ahhoz, hogy megtalálja ezt a valószínűség-sűrűség és a fő számszerű jellemzői () véletlen változó T.
Kezdjük a helyét. Igyekszik majd alapján a meghatározás (3.1) folyamatos sűrűségű valószínűsége egy véletlen változó.
Legyen T - fix érték T (T - tárgy kilépési pont nem). Ez az érték körül néhány részleges intervallumban [] hosszúságú, és megvizsgálja a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen változó T értéket vesz ebben az intervallumban. Azaz, a lehetőség, hogy az objektum nem egy bizonyos időpontban, ehhez tartozó intervallumot (ábra 2.17).
- a valószínűsége sűrűsége a valószínűségi változó jelenti az időt T. hibamentes működés tárgy, amelynek exponenciális törvény megbízhatóságát. Ez a valószínűség sűrűség grafikon látható ris.2.19. Mellesleg, a forgalmazás említett véletlen változó T hívják az exponenciális eloszlás.
Ismerve a valószínűség-sűrűség, most az alábbi (3.9) - (3.14), és megtalálni a numerikus jellemzők () véletlen változó T (őket magad):
Itt TSr- átlagos ideje zavarmentes működését a létesítmény. Tcp fejezhető keresztül és biztonságos funkció (4,23) véletlen változó T. és annak valószínűsége sűrűsége (4,25)
Összefoglalva, megjegyezzük a következő fontos tény: annak a valószínűsége, hibamentes működés bármilyen tárgy időtartamára vonatkozó időintervallum T. Ha az idő T zavarmentes működése az objektum exponenciális eloszlás nem függ az elején az intervallum, de csak az ő dlitelnostiT.
Ennek bizonyítására vezessük be az alábbi események (ábra 2.20.):
A - mentes működését az objektum az időintervallum ();
B - mentes működését az objektum az időintervallum ();
C - mentes működését az objektum az időintervallum ():
Nyilvánvaló, hogy a C = AB. ami a következőket jelenti:
Ha R (T) - a valószínűsége a hibamentes működés az objektum az időintervallum (), és - a valószínűsége a hibamentes működés az objektum az időintervallum (). Ezek a valószínűségek egyenlő, ami azt bizonyítja, az a tény, a fenti.
Megjegyezzük, hogy a valószínűségi változók, amelyek egy exponenciális eloszlás (megbízhatóság exponenciális törvény), szorosan kapcsolódik az események legegyszerűbb (Poisson) patak. Valóban, szerint (2,8), 1. fejezet, a valószínűsége, hogy a T idő nem lesz az események egy egyszerű adatfolyam, ott van a következő képlet:
Itt - az intenzitás a Poisson áramlás (átlagos áramlási bekövetkező események egységnyi idő). Ezután - az átlagos között eltelt idő a megjelenése különböző események menetébe. Tekintettel erre, a valószínűség (4.30) formáját ölti:
De pontosan ugyanolyan formában (4,27) exponenciális függvény megbízhatóság R (T), amely meghatározza a valószínűsége zavarmentes működése az objektum időn belül T. Ezért a kudarc üzemidő T az objektum exponenciálisan megbízhatóság és a TA időpontban között eltelt szomszédos események az elemi adatfolyam, ugyanaz a forgalmazás. Nevezetesen, egy exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye, amint az általános képletű (4,27).
3. példa. MTBF olyan eszközzel, amelynek exponenciális törvénye megbízhatóság egyenlő 50 óra. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a készülék működik hibátlanul a 100 órát.
Határozat. Legyen T - üzemidő eszközt. Mivel ez az átlagos érték Tav idő = 50 óra, akkor a megbízhatósági függvény R (T) a kérdéses eszköz van, szerint (4.27) formában:
Ezután szerint (4.22), megkapjuk a szükséges valószínűsége:
1. kocsi mozgás időköz 5 perc. Mi a valószínűsége annak, hogy az utas, aki azért jött, hogy megáll meg kell várni a másik kocsi legalább három percig?
2. Mérjünk termelt olyan anyag nélkül rendszeres hibák átlagosan 20 g egy véletlen hiba (mindkét irányban). Annak a valószínűsége, hogy a mérlegelés végezzük hiba nem haladja meg abszolút értékben '10
3. vetésmennyiség 1 ha 200 kg. A tényleges áramlási magvak 1 ha körül elfordul, ezt az értéket a standard deviáció 10 kg. Határozzuk meg a magok száma, biztosítva termés 100 hektáron garanciával (valószínűség) 0.95.
4. Automatikus gép termel hengeres rúd. Projekt mérete öntvényből átmérője 100 mm. Ismeretes, hogy a gép termel átlagosan 2% átmérőjű tuskókat a több, mint 101 mm. Tuskó tekinthetők megfelelőnek, ha annak átmérője közötti tartományban van a 99 mm-től 101 mm-es. Hány százaléka alkalmas üres termel a gép-gép?
5. Megtapasztalása két egymástól függetlenül működő eszköz. Időtartam állást mindkét eszköz exponenciális eloszlás. MTBF első készülék 40 órás, egy második 20 órán át. Annak a valószínűsége, hogy 10 óra alatt:
A) nem tagadja az első eszköz;
B) nem tagadja a második eszköz;
B) a két készülék nem volt hajlandó;
F), az eszközök tagadható
D) legalább egy eszköz nem fog visszautasítani.
Válasz. a) 0,78; b) 0,61; c) 0,47; g) 0,09; d) 0,91.
6. A város születik átlagosan 5 gyerek naponta. Figyelembe véve az események a gyermekek születése, puszta patak az események, megtalálja:
A) elvárás;
B) az átlagos eltérés;
B) a variációs koefficiens a valószínűségi változó a T - idő egymást követő szülés.