Extremum pont funkció, a szükséges és elégséges feltételeit extrémuma
Pont az úgynevezett lokális maximum, ha létezik egy olyan környéken, ezen a ponton, hogy ezen a környéken a következő egyenlőtlenség :.
Pont az úgynevezett lokális függvény minimuma, ha van egy olyan környéken, ezen a ponton, hogy ezen a környéken.
A függvény értéke a maximális pontot nevezzük lokális maximum. függvény értéke a legkisebb - a helyi minimum a funkciót. Helyi maximum és minimum egy függvény nevezzük helyi szélsőségek.
Pont az úgynevezett szigorú lokális maximum, ha az összes környéken ez a pont lesz szigorú egyenlőtlenség.
Pont az úgynevezett szigorú lokális függvény minimuma, ha minden a környék ezen a ponton lesz szigorú egyenlőtlenség.
Maximum vagy minimum értéke egy függvény intervallumon az úgynevezett globális csúcs.
Global szélsőérték lehet elérni akár egy helyi szélsőérték pont, illetve a végpontok.
Ennek szükséges feltétele extrémuma
(A szükséges feltétele extrémuma)
Ha a funkció extrémuma azon a ponton, akkor a származék vagy nulla, vagy nem létezik.
A pontokat, ahol a származék nulla: nevezzük stacionárius pont a függvény.
A pontok, ahol a szükséges feltétele extrémuma folytonos függvény, az úgynevezett kritikus pontjait ezt a funkciót. Ez a kritikus pont - ez vagy stacionárius pont (egyenlet megoldásai), vagy a pontok, ahol a származék nem létezik.
Nem kell az összes kritikus pont a függvény szükségszerűen maximális vagy minimális.
Az első elégséges feltétele a szélsőérték
(Az első elégséges feltétele extrémuma)
Tegyük fel, hogy a következő feltételek teljesülnek a funkció:
- folytonos az pontjának szomszédságában;
- vagy nem létezik;
- származék, amikor áthalad a ponton változik a jel.
Aztán a pont funkció van egy szélsőséges, ami a minimális, ha a ponton halad át a származtatott előjelet mínusz és plusz; maximum, ha átmegy a ponton a származtatott előjelet származó plusz mínusz.
Ha a származék az átmenetet a lényeg, hogy nem változik jel, a szélsőérték ponton sem.
Így annak érdekében, hogy megvizsgálja a funkciója a szélsőérték szükséges:
- megtalálják a származék;
- megtalálni a kritikus pontokat, vagyis azokat az értékeket, amelyekben vagy nem létezik;
- megvizsgálja a jele az származéka a bal és jobb minden kritikus pont;
- megtalálják a függvény értéke extrém helyeken.
Feladat. Fedezze fel a függvény a szélsőséges.
Határozat. Találunk származék egy adott funkció:
Ezután keresi a kritikus pontok, megoldjuk az egyenletet, hogy:
Az első származékos meghatározva minden pontján. Így van egy kritikus pont. Alkalmazza ezt a pontot a koordináta tengelyen, és megvizsgálja a jele származék a bal és jobb e pont (ebben az időszakban minden egy tetszőleges értéket, és megtalálja az érték a származékos a kiválasztott ponton határozza meg a jel a kapott értéket):
Mivel az átmeneti ponton keresztül származékot megváltoztatta a „-” jel a „+”, akkor ezen a ponton a függvény elér egy minimális (vagy egy minimális értéket), és.
Megjegyzés. Azt is meghatározhatjuk időközönként monotónia funkciót. mivel az intervallum-származék ezen intervallum egy csökkenő függvény; származékot az intervallumot, akkor az adott funkció növeli rajta.
A második elégséges feltétele a szélsőérték
(Második elégséges feltétele extrémuma)
Tegyük fel, hogy a következő feltételek teljesülnek a funkció:
- ez folyamatosan a pontjának szomszédságában;
- az első származékot egy ponton;
- ezen a ponton.
Aztán a szélsőérték eléri, és ha azon a ponton, a függvény minimuma; ha azon a ponton, a függvény értéke eléri a maximumot.
Feladat. Annak vizsgálatára, a funkció a szélsőérték által a második derivált.
Határozat. Találjuk az első származékot egy adott funkció:
Találunk a pont, ahol az első derivált egyenlő nullával:
A második derivált az adott funkció:
A stacionárius pont a második derivált, és így ezen a ponton a függvény elér egy minimális, a.