Methods parabola (Simpson) és a magasabb fokban (Newton

Ez a cikk ismerteti a számítási módszere megfelelő szerves sima függvény segítségével a merőleges képleteket. Newton-Cotes képletű jellemzői a következők:

• Ennek előfeltétele ennek a módszernek, a konvergencia a létezését és a korlátozásokat a differenciálhányados (eljárás függ a általános képletű)
• Newton-Cotes képletű magas sorrendben pontosság
• Formula érdekében „/>

ahol - meghatározott és integrálható az intervallum funkciót. Adjuk be az intervallum mesh ^ N „/>

ahol - a értéke a függvény a csomópontok. ahol - a súlyozás. attól csak a csomópont, de nem függ a választás. Formula (2) nevezzük a kvadratúra képlet. A probléma a numerikus integrálást segítségével kvadratúra az, hogy megtaláljuk az ilyen csomópontok „/>, és az ilyen súlyok” />, hogy a kvadratúra hiba képletű

minimális volt modulo függvénye egy adott osztály (érték függ simasága). A hiba függ a helyét a csomópontok és a kiválasztott súlyozási együtthatók. Bemutatunk egy egységes rács egy meccset. azaz pixelek sokaságát, és képviseli az integrál (1) részleges összege integrálok át a szegmensek:

A konstrukció a képlet numerikus integrálása a teljes időtartam elegendő ahhoz, hogy össze egy kvadratúra képlet az integrál

egy részszakasz, x_i] „/>, és a tulajdon használatát (3).

Építőipari kvadratúra képletek

Tekintettel a fentiekre, a számítás a közelítő értéke integrál arra útján kvadratúra képletű

Ez a képlet helyett lehet csökkenteni a standard formában

Általában az összetevők és a súly ismeretlenek és meg kell határozni.

Vegyük azt az esetet, amikor a csomópontok vannak megadva, és szükség ahhoz, hogy súlyt kvadratúra- formula „/> Az általunk használt követelmény :. (5) egyenlet pontosnak kell lennie minden polinom foka Hogy a polinom foka eleget ennek a követelménynek, elegendő azt követeli meg, hogy a merőleges képlet pontosnak. minden egytagú mértékben. Tekintettel arra, hogy „/>, megkapjuk az egyenlet

Ez a rendszer egy egyedi megoldás, hiszen ez meghatározó a Vandermonde meghatározó nullától eltérő, ha nincsenek megfelelő csomópontok,

mivel ez pontos) ^ 3 „/>:

Formula háromszög és trapéz pontos a lineáris függvény, azaz a. Egy polinom az első fokú, mivel könnyen látható közvetlenül. Általában, mint akkor válassza ki a Lagrange interpolációs polinomot

ahol (e) „/> - Lagrange interpolációs együtthatónak egyenlőség.

Látható, hogy a (5) képletű tartja a polinomfok, ha a súlyozó tényezőket a következő képlettel

Képletek az ilyen típusú nevezik Cotes kvadratúra képletek.

Az előadás módszer

Alkalmazása kvadratúra képletek

Visszatérünk az integrál (1). Mint a fentiekből kiderül, ez az integrál csökkenti, hogy a csere a integrál egységnyi intervallumot, és ezáltal könnyen általánosított hozzávetőleges értékelését az integrál az egység intervallum egy tetszőleges. Alkalmazni berendezés kvadratúra képletek. Legyen egy egységes partíció az intervallum egy lépés, amely jelöli. Tegyük fel továbbá, hogy egyes kiválasztott Quadrature képletű Newton-Cotes (azaz, a polinom foka van kiválasztva, és ennélfogva minden egyes polinom van felépítve a rácspont). Azt is gondolom, hogy a ponthalmaz osztható részhalmaza pont ugyanolyan szélsőséges, azaz

Ezután értékeit összegezve a kvadratúra- minden részhalmaza, megkapjuk egy hozzávetőleges értéke integrál. Jelöljük a súlyozási tényező közelítő értéke az integrál felírható az összeg a kettős

Ez az algoritmus lehet természetesen általánosítható az esetben, amikor a ^ K „/>, ahol, és minden szegmensben adott egyenletes rács. Ezután a kívánt integrál

és minden egyes részleges szegmensek közelítő értéke az integrál kiszámításra kvadratúra képletek.

Példák kvadratúra képletek

Néhány példa a kvadratúra képletek Cotes egy egyenletes rács egy pályán, amely jelöli:

• 2 pont (trapéz szabály módszer)

h (f_0 + f_1), "/>" />

• 3 pont (Simpson-módszer),

h (f_0 + 4f_1 + f_2), "/>" />

• 4 pont

h (f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3), "/>" />

• 5 pont

h (7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4), "/>" />

• 6 pont

h (19f_0 + 75f_1 + 50f_2 + 50f_3 + 75f_4 + 19f_5), "/>" />

• 7 pont,

h (41f_0 + 216f_1 + 27f_2 + 272f_3 + 27f_4 + 216f_5 + 41f_6), "/>" />

• 8 pont,

h (751f_0 + 3577f_1 + 1323f_2 + 2989f_3 + 2989f_4 + 1323f_5 + 3577f_6 + 751f_7), "/>" />

• 9 pont,

h (989f_0 + 5888f_1-928f_2 + 10496f_3-4540f_4 + 10496f_5-928f_6 + 5888f_7 + 989f_8), "/>" />

• 10 pont,

h (2857f_0 + 15741f_1 + 1080f_2 + 19344f_3 + 5778f_4 + 5778f_5 + 19344f_6 + 1080f_7 + 15741f_8 + 2857f_9). "/>" />

elemzési módszer

Quadrature hiba képletű

Hagyja th függvény folytonos-származék intervallumon, azaz - az a pont, ahol a funkció be van kapcsolva. Let használ kvadratúra- képlete érdekében. Bemutatjuk a funkció

Ezután a képlet a hiba a következő

Ezért a becsült hiba

ha (t) | "/>, ahol a> 0" /> 0 „/> - állandó, és

Ha (t) „/> nem változik jel intervallumon, akkor a tétel átlagosan van

A numerikus stabilitás kvadratúra képletek

Megjegyezzük, hogy a képletek Newton-Cotes ritkán használják, mivel azok a numerikus instabilitás vezet megugrott számítási hibákat. Ennek oka az, hogy az instabilitás Newton-Cotes-formula együtthatók nagy különböző jeleket, mégpedig akkor, ha vannak pozitív és negatív együtthatók.

Tekintsük az összeg kvadratúra-

Tegyük fel, hogy az érték függvény definiált intervallumon, úgy számítjuk egy bizonyos hiba, azaz helyett a pontos értékek kapjunk megközelítő érték. Aztán ahelyett, hogy megkapjuk az összeget

Mivel a merőleges képlet pontos számára, van

és nem függ.

Most tegyük fel, hogy minden együttható nemnegatív. Akkor a (11) és (12) megkapjuk a becsült

ami azt jelenti, hogy ugyanaz a nagyságrenddel nagy hiba kiszámítása során az összeget a kvadratúra (10), és hogy a hiba a számítás a funkció. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az összeg (10) számítjuk következetesen.

Ha az együtthatók különböző jelek, akkor lehet, hogy az összeg ^ n „/> nem egyenletesen határolja, és így számítási hiba növekszik a végtelenségig növekedési. Ebben az esetben, a számítást a (10) képletű instabil lesz, és az ilyen képlet nagy ez lehetetlen.

numerikus kísérlet

Adunk néhány példát számítása integrálok a Newton-Cotes formulák. Amennyiben a megvalósításhoz használt C ++ nyelven, a következő egy függvény kód, ami visszaadja egy hozzávetőleges értéke az integrál.

Forráskód funkció

A bemeneti függvény négy paraméteres

megduplázódik a - bal végét tesztintervallum

kettős b - jobb a vizsgálat végén intervallum

int képzés - a polinom foka használt

int Ndivisions - a szegmensek száma, amelybe a forrás. Egybeesik az értéket a fenti (7)

f - integrálható függvény

Számítsuk ki fok Cotes képletekben 1-9 integrál értéke

A számítások fog termelni anélkül, hogy elszakadna a részleges szegmense, azaz, egy pont, ahol a polinom foka. Az eredményeket az alábbi táblázat mutatja. Kerekítési végzett 6 tizedesjegy pontossággal.

A közelítő értéke az integrál

ajánlások programozó

Automatikus kiválasztása az integráció lépésben az utólagos hibabecslés eljárás Runge

Nagysága hiba a numerikus integrálása függ a rács lépés, és a sima az integrandus. Az összeg a hiba, ráadásul magában foglalja az értéket (\ xi) „/>, amely nagy mértékben változhat az intervallumot és ismert előre. Hogy csökkentse a hiba, meg lehet őrölni a háló előre meghatározott időközönként. De szükség van utólagos becslési hiba. Az ilyen becslési hibák lehetnek Runge végre. Tekintsük az alkalmazás egy kvadratúra képlet a részleges szegmens, x_i] „/>. Jelöljük az integrál értéke az összes otrepke, az az integrál értékét th részleges intervallumban a közelítő értéke az integrál az egész intervallum, kapott egy előre meghatározott képlet és kvadratúra egyenletes rács egy hangmagasság és a „/> közelítő értéke az integrális th részleges szegmens . Legyen ez kvadratúra- képlet ezen részleges intervallumban nagyságrendű pontosságot, azaz

ahol c - konstans. majd

Hagy használni kompozit kvadratúra képletű

ahol valamennyi részleges szegmensek kvadratúra képletek használjuk ugyanabban a sorrendben a pontosság (vagy, különösen, ugyanazt a formulát). Döntetlen a minden részleges szegmens, x_i] „/> számítás kétszer - egyszer a lépést, a második alkalommal eggyel növeli a” />, és az a posteriori becslési hiba által Runge szabály (14). Ha egy adott 0 "alt =" \ varepsilon> 0 „/> az egyenlőtlenségek

azaz lehet elérni adott pontossággal.

Ha azonban bizonyos szegmenseiben a részleges becslés (15) nem teljesül, majd lépjen ebben a szegmensben kell őrölni is újra megduplázódott megbecsülni a hiba. Marás Mesh ebben az intervallumban kell lennie, amíg a becslés formájában (15) eléréséig. Megjegyezzük, hogy az ilyen őrlés túl sokáig néhány funkciót. Ezért a program szerint kell biztosítania egy felső korlátot a finomításokat.

Így az automatikus kiválasztás lépés az integráció vezet az a tény, hogy az integráció egyik legfontosabb lépés a területeken sima megváltozik a funkciója és finom osztású - azokon a területeken a gyors változás. Ez lehetővé teszi, hogy egy adott pontossági értékek számának csökkentése számítások képest a számítás a rács állandó meccset. Kiemeljük, hogy a összegek meghatározására nem szükséges újraszámolni az értékeket minden csomópont, kiszámítja elég csak az új helyek.

következtetés

Formula Simpson és Newton-Cotes jók berendezés kiszámítására határozott integrál megfelelő számú alkalommal folyamatosan differenciálható függvény. A példa a képletek a rend, azt látjuk, hogy egy korlátos származékot érdekében pontosság képletek, ahol - hálókiosztás és n „/> n” />. Azaz, amikor a feltételek alkalmazhatóságát ez a módszer, a képletek adnak magas sorrendben a konvergencia. Azonban a nagy, különösen még, a számítás közelítő értéke az integrál válik numerikusan instabil, ami számukra használhatatlan.

Irodalom