Lineáris rendszerek differenciálegyenletek változó együtthatók
Normál lineáris differenciálegyenlet-rendszert változó együtthatók írva, mint \ [>>> = = \ sum \ limits_ ^ n> \ left (t \ right) \ bal (t \ right)> + \ left (t \ jobbra),> \; \; \] Ha \ (\ left (t \ right)> \) - ismeretlen függvények, amelyek folyamatos és differenciálható bizonyos intervallum \ (\ left [\ right] \.) Az együtthatók \ (> \ left (t \ right)> \) és az állandó kifejezések \ (\ left (t \ right) \) a folytonos függvények az intervallum \ (\ left [\ right]. \)
A vektor-mátrix jelöléssel, ez a rendszer a egyenletek írhatók, mint \ [> \ left (t \ right) = A \ left (t \ right)> \ left (t \ jobb) +> \ left (t \ jobbra), \ ], ahol a \ [> \ left (t \ right) = \ left (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right)> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ jobbra),> \; \; >> \ left (t \ right) >> \ left (t \ jobbra)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Bal (t \ right)> \ end> \ jobbra),> \; \;> \ left (t \ right) = \ left (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right )> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ jobbra).> \] általában, mátrix \ (a \ bal (t \ right) \), és a vektor funkció \ (> \ bal (t \ right) \) \ (> \ left (t \ right) \) tudja fogadni a valós és komplex értékek.
A megfelelő homogén rendszer változtatható együtthatók vektor formában van \ [> \ left (t \ right) = A \ left (t \ right)> \ left (t \ jobbra). \]
Alapvető rendszer megoldások és az alapvető mátrix
Vektor függvény \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ right) \) lineárisan függ az intervallum \ (\ left [\ right] \), ha vannak számok \ (,, \ ldots ,, \) egyidejűleg nem egyenlő nullával, hogy az identitás \ [_1> \ left (t \ right) + _2> \ left (t \ right) + \ cdots + _N> \ left (t \ right) \ ekvivalens 0> \; \; \ Right].> \] Ha ez az identitás csak akkor kerül végrehajtásra, ha a \ [= = \ cdots = = 0, \] a vektor függvény \ (_ i> \ left (t \ right) \) azt mondta, hogy lineárisan független egy előre meghatározott intervallumban.
Minden olyan rendszer, \ (n \) lineárisan független megoldásokat \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ right) \) nevezzük alapvető rendszer megoldások .
Egy négyzetes mátrix \ (\ Phi \ left (t \ jobbra), \) oszlopai képződő lineárisan független megoldásokat \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ bal (t \ right) \) az úgynevezett alapvető mátrix rendszer. Úgy néz ki, mint ez: \ [\ Phi \ left (t \ right) = \ left (>> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Bal (t \ right)> \ end> \ jobbra), \] ahol \ (> \ left (t \ jobb)> \) - koordinátái lineárisan független vektor megoldások \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _2> \ left (t \ right) \ ldots, _n> \ left (t \ right). \)
Megjegyezzük, hogy az alapvető mátrix \ (\ Phi \ left (t \ right) \), mely nem-degenerált, azaz mert mindig van egy inverz mátrixot \ (> \ left (t \ jobbra). \) Mivel az alapvető mátrix tartalmaz \ (n \) lineárisan független megoldásokat, ha szubsztituált homogén egyenletrendszert kapjuk a személyazonosságát \ [\ Phi „\ bal ( t \ right) \ ekv a \ bal (. t \ right) \ Phi \ left (t \ right) \] megszoroztuk ezt az egyenletet a jobb oldalon a inverz függvény \ (> \ left (t \ jobbra): \) \ [> \ bal (t \ right) \ ekv A \ bal (t \ right) \ Phi \ bal (t \ right)> \ left (t \ jobbra),> \; \;> \ left (t \ right)> \. ] Ez a viszony határozza meg, egyedülállóan homogén egyenletrendszert adnak, ha az alapvető mátrix.
Az általános megoldás a homogén rendszer kifejezve az alapvető mátrix \ [_ 0> \ left (t \ right) = \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf, \] ahol \ (\ mathbf \) - \ (n \) - dimenziós vektort véletlen számokat.
Megemlíteni egy érdekes speciális esete homogén rendszereket. Kiderült, hogy ha a termék mátrix \ (A \ left (t \ right) \), valamint a szerves mátrixformula kommutatív. azaz \ [A \ bal (t \ right) \ cdot \ int \ limits_a ^ t = \ int \ limits_a ^ t \ cdot A \ left (t \ jobbra), \] az alapvető mátrix \ (\ Phi \ left (t \ jobbra) \) a rendszer az egyenletek a következő alakú \ [\ Phi \ left (t \ right) = >>. \] ezt a tulajdonság teljesül szimmetrikus mátrixok, és különösen abban az esetben, a diagonális mátrixok.
Wronskian és Liouville képletű Ostrogradskii
A meghatározó alapvető mátrix \ (\ Phi \ left (t \ right) \) az úgynevezett meghatározó Wronski vagy Wronskian készítés rendszer \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ jobbra): \) \ [_1>, _ 2>, \ ldots, _N >> \ right]> = >> \ left (t \ right) >> \ left (t \ jobbra)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \\ \ cdots \ cdots \ cdots \ Cdots \\> \ left (t \ right) >> \ left (t \ right)> \ vdots > \ Left (t \ right)> \ end> \ right |.> \] Wronskians ellenőrzéséhez hasznos lineáris függetlenségét megoldásokat. A következő szabályok érvényesek:Solutions \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ right) \) a homogén rendszer egyenletek alapvető rendszert, ha, és csak akkor, ha a megfelelő Wronskian nem nulla ponton \ (t \) intervallumban \ (\ left [\ right]. \)
Solutions \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ right) \) lineárisan függ az intervallum \ (\ left [\ right] \) akkor és csak akkor, ha a Wronskian azonosan nulla, hogy az intervallum.
A Wronskian készítés rendszer \ (_ 1> \ left (t \ jobbra), _ 2> \ left (t \ jobbra), \ ldots, _N> \ left (t \ right) \) kielégíti a Liouville Ostrogradskii. \ [W \ bal (t \ right) = \ left (\ jobbra) d \ tau >>>, \] ahol \ (\ left (\ jobbra)> \) - nyomnyi mátrix \ (\), azaz az összeg az összes diagonális elemeit: \ [\ text
Módszer paraméterek változása (Lagrange módszer)
Mi most úgy a inhomogén rendszerek, amelyek a vektor-mátrix formában felírható \ [\ mathbf \ left (t \ right) = A \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ jobb) + \ mathbf \ left ( t \ jobbra). \] az általános megoldás ennek a rendszernek az összege az oldat teljes \ (_ 0> \ left (t \ right) \) megfelelő homogén rendszerrel és saját megoldások \ (_ 1> \ left (t \ right) \) inhomogén rendszer, azaz, \ [\ Bal (t \ right) = _0> \ left (t \ jobb) + _1> \ left (t \ right)> = + _1> \ left (t \ jobbra),> \], ahol \ (\ Phi \ left (t \ right) \) - alapvető mátrix, \ (\ mathbf \) - tetszőleges numerikus vektor.
A leggyakoribb módszer foglalkozik heterogén rendszerek a módszer paraméterek változása (Lagrange módszer). Ezzel a módszerrel, ahelyett, hogy a konstans vektor \ (\ mathbf \) tartjuk vektor \ (\ mathbf \ bal (t \ jobbra), \), amelynek az összetevői folyamatosan differenciálható funkciók a független változó \ (t, \) azaz úgy vélik, \ [\ mathbf \ left (t \ right) = \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right). \] behelyettesítve ezt a kifejezést egy heterogén rendszer, azt látjuk, az ismeretlen vektor \ (\ mathbf \ left (t \ jobbra): \) \ [\ igényelnek \ left (t \ right) = A \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ jobb) + \ mathbf \ left (t \ jobbra),> \ ; \; \ Bal (t \ right)> + \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ bal (t \ right)> = \ left (t \ right)> + \ mathbf \ left (t \ jobbra),> \ ; \; \ Left (t \ right) = \ mathbf \ left (t \ right).> \] Tekintettel arra, hogy a mátrix \ (\ Phi \ left (t \ right) \) nonsingular, megszorozzuk az utolsó egyenletet a bal oldalon az \ (> \ left (t \ jobbra): \) \ [> \ left (t \ right) \ Phi \ left (t \ right) \ mathbf \ left (t \ right) => \ left (t \ right) \ mathbf \ left ( t \ right),> \; \; \ Bal (t \ right) => \ left (t \ right) \ mathbf \ bal (t \ jobbra).> \] Után integrációs kapjunk vektort \ (\ mathbf \ bal (t \ jobbra). \)