Univerzális és egzisztenciális kvantifikátorok
Abban a vizsgálatban, propozicionális formában (predikátum) az egyik módon megszerzésének kimutatások lett megadva: a helyettesítés egy változó érték P (x) egy sor A. Például,
P (x): "x - prímszám." Behelyettesítve x = 7, megkapjuk a nyilatkozatot
"7 - prímszám." Megismertük a két logikai művelet: lóg univerzális kvantor és egzisztenciális kvantor, amelyek lehetővé teszik, hogy ki a propozicionális formában a megnyilatkozás.
Nézzük helyettesíti előtt propozicionális formában P (x), a „minden”: „minden x - prímszám.” Kaptunk egy hamis állítás. Nézzük helyettesítő előtt P (x), a „néhány”, „egyes szám x - egyszerű.” Van egy igaz állítás.
A matematika, a „minden”, „egyes” és azok szinonimái nevezzük kvantorokkal, melyek rendre az úgynevezett univerzális kvantor ( „) és az egzisztenciális kvantor ($) általánosság kvantor helyébe a szövege a szavakat. Minden, minden, minden, minden, stb . kvantorával megléte a verbális megfogalmazása helyébe a következő szavak: van legalább egy, néhány ott lesz, stb
Legyen P (x) - propozicionális formában M. Record
azt jelenti, bármely elem x (kivéve M) rendelkezik F (x), amely már így is a megnyilatkozás. Annak bizonyítására, hogy a nyilatkozatot ( „x) P (x) - igaz, meg kell, hogy menjen át az összes elemet a, b, c, stb M és ellenőrizze, hogy a P (a) P (b), P (c) . igazak, és ha lehetetlen felsorolni az elemeket M, bizonyítania kell, érvekkel, hogy bármelyik M nyilatkozat P (a) igaz. meggyőződni arról, hogy a ( „x) P (x) hamis, akkor kell csak találni egy elemet ésÎM úgy, hogy P (a) hamis.
Példa. Tekintettel arra, propozicionális formában
(X): "- prímszám."
Az (1) 2 2 + 1 = 5 - prímszám;
A (2) = 17 - prímszám;
A (3): = 257 - prímszám;
B (4) = 65537 - prímszám.
Mondhatjuk, hogy a ( ".. X) B (x) Meg kell bizonyítani Leonard Euler bizonyította, hogy a B (5) - hamis, azaz + 1 = 2 32 + 1 osztható 641, és ezért, (" x) V (X) - hamis.
Példa. Tekintsük a mondat ( "x) C (x), ahol N van beállítva, hogy (x):" x 3 + 5x osztható 6”.
Nyilvánvaló, C (1), C (2) C (3) C (4) igaz. De ha megvizsgáljuk akár egymillió x értékek mindig az a veszély, hogy egy millió az első érték x állítását C (x) hamis.
Bizonyítsd be, hogy például az alábbiak szerint:
x 3 + 5x = x 3 - x + x = 6 × (x 2 - 1) + 6x = (X - 1) x (x + 1) + 6x
Expression (X - 1) x (x + 1) osztható 3 és azért, mert a három egymást követő egész szám legalább egy osztható 3; és ez a kifejezés osztva 2, mivel a számok a három egymást követő egy vagy két páros. A második tag van osztva 6 x 6, ezért a teljes összeget elosztjuk 6, azaz ( „X) C (X) - igaz.
Legyen C (x) valamilyen propozicionális formában. rekord
egy olyan eleme, x az M halmaz, amelyre érvényes a G (x). ($ X) (x) már mond. Ha a beállított M megtalálható elemként, amely a C (a) igaz az az állítás, ($ x) (x) - igaz. Ha M nincs olyan elem, és amelyre a C (a) igaz az az állítás, ($ x) (x) - hamis.
Példa. On mnozhestveN set C (x): "". C (1) - hamis, C (2) - hamis, C (5) - igaz. Következésképpen ($ x) (x) - igaz állítás.
Példa. A, megadott N K (x): "x 2 + 2 + 3 osztva 7". K (1) = 6, 6 nem osztható 7; K (2) = 11, 11 nem osztható 7, stb
Hipotézis: ($ x) (x) - hamis.
Lássuk be ennek. Bármilyen természetes szám tétel a maradékos osztás lehet reprezentálni n = 7q + r, ahol r <7.
n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2 (7q + r) + 3 = 7 (7q 2 + 2QR + 2q) + r 2 + 2r + 3.
Így, az n szám 2 + 2n + 3 osztva 7 és csak akkor, amikor r 2 + 2r + 3 osztva 7. maradékot r Î <0, 1, 2, 3, 4, 5, 6>. brute force ellenőrzi, hogy r 2 + 2r + 3 nem osztva 7. Így, ($ x) R (X) - hamis.
Hogyan építsünk egy tagadás kimutatások számszerűsített?
Annak érdekében, hogy építsenek egy tagadás kimutatások számszerűsített, akkor ki kell cserélni az univerzális kvantor ( „), hogy az egzisztenciális kvantor ($), és fordítva, az egzisztenciális kvantor az egyetemes kvantor, és a javaslat. Kvantor után állt annak tagadásával, azaz
[( „X) P (x) Û ($ X) P (x);
[($ X) P (x) Û ( „X) P (x).
Tegyük fel például, hogy a két állítás:
A: „minden páratlan prímszám”;
A „minden prímszám páros.”
Akár a tagadás kimondásával? Nem, mert egyik állítás nem igaz. Ebben az esetben,
A: „Nem minden prímszám páratlan, azaz Van még prímszám „- igaz állítás.
A következőkben azt feltételezzük, hogy a tagadás a javaslat épül, ha nem csak rögzíteni annak tagadásával, hanem kapott egy javaslatot alakítjuk megtagadásának formájában, ahol a jelek előtt egyszerűbb kifejezéseket. Például a tagadása alakú mondat A Ù Mi nem kell figyelembe venni (A Ù B), és ez felel meg: A Ú V.
Legyen (x, y) - propozicionális formában két változóval.
Ezután ( 'x) A (x, y), ($ x) A (x, y), (' x) A (x, y), ($ x) A (x, y) is propozicionális formában, de a egy változót. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a kvantor kötődik egy változó. Ahhoz, hogy ki a propozicionális formában (x, y), mondván, meg kell összekapcsolni a két változó között. Például (x) ($ y) A (x, y) - nyilatkozatot.
A propozicionális formában F (x, y): „X 1) ( „x) („y) F (x, y) Û L - „Minden x és y minden x 2) ( "y) (" X) (X 3) ($ x) ($ y) (x 4) (a $) ($ x) (x 5) ( „s) (a $) (X 6) ($ y) ( „X) (X 7) ( „y) ($ x) (x 8) ($ x) ( „y) (x „Figyeljünk a nyilatkozatok (1) és (2), (3) és (4). A szerkezetek ezek a kijelentések csak abban különböznek a sorrendben a kvantorokat az azonos nevű, de ez nem változtat a jelentése és értéke igaz állításokat. Expression (5) és (6), (7) és (8) tér el a sorrendben a különböző kvantorokat, ami változást értelme és lehet nyilatkozatok igazság értékeket. Nyilatkozat (7) azt állítja, hogy a jelenléte a legkisebb számú Z hamis. (8) hiányában az ilyen károk. hogy ez igaz. 1. A koncepció egy állítmány egy több változó. 2. Példák a szimpla és dupla predikátumok. 3. Terület igazság állítmány. 4. Az univerzális és az egzisztenciális kvantifikátorok. Szabad és kötött változók. Műveletek predikátumok. Mire terjed ki az igazság; ; ; . Írása geometriai értelmezést. 5. Átalakítás elsőrendű logika képleteket. Meghatározása azonos igaz, egyforma hamis állítmány, a kapcsolat a valódi mértékét. Key egyenértékűségét. 5.1. Adja meg a változók száma, amelyekre ezek a predikátumok true, false: 1. x 2 x Î N; 9. = - x, x, Î R; 2. x <1. x Î N ; 10.> 0 3. x> 6® x ³ 3 xÎZ; 11. sin x = -. xÎ R; 4. x + 3x +6 = 0. X Î R; 12. cos X =. x ÎR; 5 = 0, XÎR; 13. x ³ y. x, y Î R; 6. | x - 5 | <2, 14. x + y <3, x,yÎ N; 7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x Î R; 15. x (y - 1) = 0, x, yÎR; 8. = x, x Î R; 16. x + y = 4, x, y ÎR. 5.2. Keresse meg a terület érvényességi gyakorlásának predikátumok 5.1. Esetei 13-16 Draw a koordináta síkon. 5.3. Keresse meg a területet az igazság állítmány: 1 = 0; 7. | 3x - 2 |> 8; = 2; 8. | 5x - 3 | <7; 3. ->; 9. 2 - | x | = 1,7; 4; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1; 5. <0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x; 6.> 0; 12. | 2x + 4 | ³ 2x + 4. 5.4. Keresse meg a területet az igazság állítmány: 1. ( 2. (- 4 <- 1) Ù ( x + 2 ( 2x- 1) <3( x +1); 3. (- + 2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x<); 4. (- + X <2x - 4 )Ù( + 3 (x - 1)<); 5 ((x + 3) (x -. 1) <0 ) Ù ( x + 4x + 6> X (X - 5); . 6 ((x - 6x + 9) (2x - 10) <0) Ù ( 6 + x ( 7 - x ) 7. (1 + £) Ú (- 1 <5x - 5) 8. (-> 2) Ú (- 3x - 1> 2); 9. (+ 6x> + 4) Ú (-> -); 10. (0,2 (2x - 3) 5.5. Keresse meg a területet az igazság állítmány: 1. sin x =; 2. cos X = -; 3. tg x = 1; 4. CTG X = - 1; 5. 4 - cos X = sin x 6. május 4 - május 2 cos x = sin 5.6. Azonosságának meghatározásához és azonos igazság hamisság predikátumok: 1. x + x = 2 x Î N; 2. x + 1 = 0. X Î R; 3. 1 + cos x = 2 cos; xÎR; 4. 1- cos x = 2 sin. x Î R; 5. (x + x) 2. XÎZ; 6. (x 2) Ù(X = 2y + 1), x, y ÎZ 7. (X 2) Ú(X = 2y + 1), x, yÎZ; 8. (X 2) ® (x = 2y + 1), x, y ÎZ; 9. (X 9) ® (x 3), x, y ÎZ. 5.7. Keresse az érték az alábbi állítások: 1. ( „X Î N) (x £ 1); 2. ($ x Î N) x £ 1 3. ( „x Î Z) (x + x = 2); 4. ($ xÎ Z) (x + x = 2); 5. ( „X Î Z) ((x> 10) ® (x ³ 3)); 6. ( „X Î Z) ((x ³ 3) ® (x> 10); 7. ( „x, y Î Z) (x + y = 3); 8. ($ x, y Î Z) (x + y = 3); 9. ( „x, y Î R) (X 10. ( „x, y Î R) (X Kapcsolódó cikkek