Általános koordináták, az általánosított erők
12. Az általános koordináta általánosított erő
A fogalmának bevezetése, úgy a generalizált koordinátákat lapos kettős matematikai inga, amely két súlytalan rúd hossza L1 és L2 a pont tömegek m1 és m2 a végein (ábra. 12.1). A rendszer két szabadsági fok.
Valóban OM1 rúd körül forog egy rögzített vízszintes tengely OA merőleges az xy síkban mozgást. és M1M2 mag - egy vízszintes tengely körül ponton áthaladó M1. ugyanabban a síkban. Ezért kapcsolatok formában vannak jelen az egyenlet: z1 = 0, Z 2 = 0,
Ezért, mivel n = 2, és a számát kényszer egyenletek k = 4, akkor S = 3n -k = 2, azaz a csak két hat derékszögű koordináta-független, és megadható. A fennmaradó koordinátáit is kifejezhető egyenlettel csatlakozások révén független koordinátákat.
A gyakorlatban a koordináták x1. u1z1 x2. v2. z2 keresztül kifejezett bármilyen más független változó természete, ebben az esetben a rúd szögek és eltéréseket a függőleges:
Ott sarkok és szerepét a független paraméterek egyértelműen meghatározzák a helyzet a mechanikai rendszert.
Tegyük fel most, hogy van egy rendszer n anyagból pontot, amely kiszabott k holonomic megszorítások által megadott egyenletek (10.2). Minél több szabadsági fokkal egyenlő S, akkor bevezetjük a független változók q1. q2. qs. Ezután a kapcsolat (12,1), a rendszer formájában:
Vegye figyelembe, hogy a független koordinátákat qm (m = 1, 2, ..., s) - ezek nem feltétlenül meghatározott körében a változók S derékszögű koordináták xn, yn, zn. Ezek a változók lehetnek különböző jellegű, a fenti példában a derékszögű koordináták helyett szögkoordinátáit lépett.
S független parametrovq1. q2. qs egyértelműen meghatározza a helyzetét pontjait anyagi rendszer, amely kompatibilis a megszorítások, az úgynevezett általános koordinátákat.
A származékok a generalizált koordinátákat vremeninazyvayutsya generalizált sebességek (= DQM / dt).
A méret az általánosított sebessége függ a méret az általánosított koordináta, ha qm - lineáris értéket, akkor - a lineáris sebesség; ha QM - szög, majd - a szögsebesség; ha qm - a terület, a - szektoros sebesség. Következésképpen, a fogalom egy általános mértéke magában foglalja az összes ismert fogalom a sebesség.
Az fogalmának bevezetése, úgy az általános erők holonomic álló rendszer n lényeges pontokon, ahol erők megfelelően járnak el. . Hagyja, hogy a rendszer S-nek a szabadsági fok, helyzete határozza meg az általános koordináták q1. q2. qs. Legyen a rendszer egy rögzített időpontban, például a virtuális elmozdulás, ahol a generalizált koordináta növekmény qm válik DQM> 0, és a fennmaradó általánosított koordinátákat nem változott. Ezután minden egyes sugár vektor kap virtuális elmozdulás () m. amelynek kiszámítása, mint a részleges eltérés:
Szerint (10,9) az aktív virtuális munka erők upon variációs DQM generalizált QM koordinátákat felírható:
Mennyiség nevezik általánosított erő. megfelelő generalizált koordinateqm. Ha az összes S generalizált koordinátákat egy adott időben jelenteni pozitív hozadékot (variáció) dq1, DQ2 ,. DQS. akkor a teljes virtuális munka összes aktív erők általános koordinátákkal
A kifejezést (12.5), hogy az általánosított erők variációs koefficiens az általánosított koordinátákat szempontjából virtuális munka. Kivetítése (11,4) a derékszögű tengely, megkapjuk
Ha az összes ható erők potenciális, akkor a kiemelkedések FNX, Fny, FNZ a derékszögű tengelyek kifejezhető a potenciális energia U a rendszer szerint a képletek:
Behelyettesítve (12,7) a (12.6), kapjuk:
Egy mechanikus rendszer egy potenciális erőtér, generalizált silaopredelyaetsya mínusz a parciális deriváltja a potenciális energia a megfelelő generalizált koordináta:
Megjegyezzük, hogy a dimenzió az általános erő egyenlő a dimenzió a munka, osztva a dimenzió az általánosított koordinátákat.
12.1 példa. Határozzuk meg az általános erő a tömeg egy matematikai inga. ha a string hossza egyenlő l. A generalizált koordináta J Vegye hajlásszöge az inga a függőleges (ábra. 12.2).
Ábra. Ábra 12.2. 12.3
Határozat. Inga egy olyan rendszer egyetlen szabadsági fok (S = 1), hogy meg tudja határozni pozícióját elegendő megadni egy paramétert.
Tekintsük az inga bármilyen helyzetben. A generalizált koordináta q venni a szög j. Aktív ható az inga, a gravitációs erő.
1. módszer: A potenciális erő, a használata a általános képletű (12,8) meghatározására az általánosított erőt Q. Kiszámítani a potenciális energia az inga P Levél x-tengely függőlegesen lefelé, figyelembe referenciapontként O a potenciális energia az inga felfüggesztés, azaz P (x = 0) = 0. A potenciális energiája az inga egyenlő a gravitációs erő, hogy mozog a tömeges pont a helyzetét M nulla, azaz a = P -P -P = X1 × × × l cosj. Szerint (12,8)
2. módszer: A leggyakoribb módszer számítási NYM generalizált erő annak általános képlet definíciója (11,4) Qm = DAM / DQM. Az inga egy adott időpontban a virtuális elmozdulás DJ> 0; abba az irányba, növeli a szög j (. 12.3 ábra), és ki kell számítani az elemi munka a gravitációs erő ezen lépés:
ahol h = l × Sinj, - nyomaték karja a rotációs középpont O. Ezért