Countability az egész számok
Egész számok vannak elrendezve a következők 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
Akkor tegye az egyes szám a sor egész
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, .... n, -n, ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .... 2n-1, 2n, ...
Így ha bebizonyosodik, hogy a beállított Z megegyezik a beállított N, és így ez megszámlálható.
Annak bizonyítására, hatásos felsorolásával Z azt kell megállapítani, hogy minden eleme Z megszámlálhatók algoritmus és megkapja eredményeként a rendezési sorszámok hézagmentesen és ismétlést. Később, néhány esetben a kikötés nélkül „kihagyások és ismétlések” kerül felszámításra, de továbbra is fontos tény, transzfer az algoritmus, azaz a Néhány szabályos módon.
Denumerability több racionális
Adjuk meg a racionális szám, mint q = n / m, ahol n és m - egész szám, ahol m jelentése 0.
Vegyük az első pozitív racionális szám, és azt írja formájában végtelen mátrix, amelynek sorok és oszlopok számozása természetes számok 1-től kezdődően az elem metszéspontjában i-edik sorának és j-edik oszlop nevet kap qij
Az átlós módszer felsoroljuk őket (számozása természetes számok):
1 2 3 4 5 6 7 8 9
így Minden racionális szám megkapja a megfelelő számot, ami azt jelenti, hogy a megszámlálható halmaz a racionális számok. Tényleges hatékony enumerability több Z közvetlenül következik a felsorolás folyamat elemeinek természetes számok.
Példák megszámlálhatatlan halmaz:
A valós számok halmaza.
A készlet minden térképek egészeket egészek.
A készlet minden részhalmaza a pozitív
(3) A számszerű sorrendben. Végtelenül kicsi és végtelenül nagy, a köztük lévő kapcsolatot. Alapvető tételei végtelenül szálakat. Scale végtelenül kicsi. -simvolika.
Tekintsük a sorozat a természetes számok 1, 2, 3, .... n -1, n, ....
Ha cserélni minden n természetes szám ebben a sorozatban számos un. követően bizonyos törvény, akkor kap egy új számsor:
és az úgynevezett számsor. Az érték az úgynevezett un általános kifejezés szekvenciát. Általában, a számozási sorrendet határozza meg egy képlet un = f (n), amely lehetővé teszi, hogy megtalálja bármely tagjának sorszáma n; Ez a képlet az úgynevezett általános kifejezés képletű. Vegye figyelembe, hogy állítsa be a számozási sorrendjét az általános kifejezés képlet nem mindig lehetséges; Előfordul, hogy a sorrend határozza meg leírja tagjai
Egy kényelmes eszköz a vizsgálat fogalmának korlátozó átmenetek végtelenül sorrendben. sorozat
1. Az összeg és a különbség elenyésző szekvenciák
2. B \ m-szekvencia - korlátozott.
3. A termék végtelenül szekvencia határolt szekvencia egy végtelenül szekvencia.
4. Annak érdekében, hogy szekvenálni
(4) összetartó szekvenciát. Limit egy szekvencia, a geometriai értelemben. Alapvető tételek mintegy konvergens szekvenciák. Passage a határ egyenlőtlenségeket. A korlátozott számú szekvenciák. A felső és alsó felületei egy számszerű sorrendben. A pontos felső és alsó határai a számszerű sorrendben. Monotone szekvenciát. A tétel konvergenciájának egy monoton korlátos sorozatot. A konvergencia a szekvencia.
Ha van egy véges határérték. akkor a szekvencia azt mondják, hogy konvergál.
A szám egy úgynevezett határ a sorozat, ha az egyes # 949> 0 számra létezik olyan N # 949;, hogy minden n ≥ N # 949; az | xn - a | <ε,
t. e. Ha ezt a levelet, hogy vagy ha n → ∞. Röviden, ez a meghatározás felírható:
Az intervallum (a - # 949 ;; a + # 949;) nevezzük # 949; a szomszédságában a. # 949; a szomszédságában a. Egyszerűen fogalmazva, a szám egy nevezzük határa a sorozatot. ha bármilyen # 949, egy pont szomszédságában mind tagjai a sorozat, kivéve talán véges számú őket. Ezért könnyen belátható, hogy a változás véges számú szempontjából a szekvencia nem befolyásolja a létezését a limit, vagy az érték az utóbbi.
Weierstrass tétel. Ha a sorrend monoton és korlátos, akkor van egy határ.
Igazolás a h a t e l igazolása:
Tegyük fel határozottságot - növekvő és korlátos felett. Mi fix. és mivel korlátozott, akkor. Ezután, a monotónia egy előre meghatározott sorrendben, a (1.2.1).
Ezért. jelent.
Hasonlóképpen, a tétel bizonyult abban az esetben, - csökken, és alulról korlátos.
Ahhoz, hogy egy monoton növekvő (csökkenő) szekvenciát a konvergálnak, szükséges és elégséges, hogy azt csak a felső (alsó). Ebből következik az állítás, hogy ha a szekvencia van egy határ, korlátozott. és Weierstrass-tétel.
Tétel 2.2. Ha a sorozatnak van egy határ, korlátozott.
Bizonyítás: Legyen. és májusban - a legnagyobb a számokat. azaz . A definíció szerint - korlátozott.