A tehetetlenségi nyomaték a test és a tétel a Huygens-Steiner
tehetetlenségi nyomaték az adalékanyag értéket, amely megegyezik az összeg a tehetetlenségi nyomatéka összes részecske a szervezetben:
Itt, MI - i -edik tömegű részecskék, amelyek összefüggésbe hozhatók a sűrűsége és térfogata anyag ri részecskék:
Ha a test homogén, azaz sűrűsége mindenütt egyforma, akkor r lehet kivinni az összegzés jele:
Elválasztó test egyre kisebb részecskéket, csökkentjük a probléma megtalálni a tehetetlenségi nyomaték kiszámítására az integrál:
Az integrációs végezzük a test körül térfogata V.
Példaként kiszámítja a tehetetlenségi nyomatéka egy viszonylag vékony, homogén rúd z tengellyel. áthaladó a tömegközéppontja - a C pont (9.3 ábra.). Szár hosszát - L. a tömege - M.
A távolból a forgástengely x dx select elem. tömeges dm =.
A tehetetlenségi nyomaték a részecskék a rúd:
Kiszámítása Ily módon minden tehetetlenségi nyomatéka a rúd elemek, adjunk nekik, figyelembe véve a szerves:
.
Integration tartott az x-tartományban a.
Hogyan változtassuk meg a tehetetlenségi nyomatéka a rúd, ha a forgástengely, hogy menjen egy másik helyre? Várj, például egy web szélén?
Ebben az esetben az előbbi kell tekinteni szerves része a 0-tól l.
Az új érték a tehetetlenségi nyomatéka a rúd jelentősen nőtt. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a tehetetlenségi nyomaték határozza meg nem csak a súlya, hanem a forgalmazás képest a forgási tengely.
Több kiszámítja a tehetetlenségi nyomatéka a test: tömör henger, tekintettel a geometriai tengelye.
Legyen M - tömege, és R - a sugara a henger (9.4 ábra.). Mi megkülönböztetni ezt a réteget hengeres munkahenger, R sugarú, és a vastagsága dr. A súlya ez a réteg:
ahol: R - az anyag sűrűsége a henger;
Minden részecskék ezen réteg azonos távolság a forgástengely - geometriai tengelye a henger, akkor a tehetetlenségi nyomaték réteg:
Ahhoz, hogy megtalálja a tehetetlenségi nyomatéka a henger integrálják az utolsó kifejezés:
Vegye figyelembe, hogy pR 2 L = V - a henger térfogata, és RPR 2 L = RV = M - tömege.
Ezután a tehetetlenségi nyomatéka a henger képest geometriai tengely végül ebben a formában íródott:
A tehetetlenségi nyomaték egy tetszőleges tengely (I) az összege a tehetetlenségi nyomatéka Ic képest párhuzamos tengely ennek középpontján áthaladó tömeg, és a termék M testsúly a tér közötti távolság a tengelyek.
ahol a - távolság a tengelyek között.
Ábrán 9.5 a forgástengely merőleges a rajz síkjára: 0 átmegy a ponton egy tetszőleges tengely; párhuzamos tengelyen át húzott a tömegközéppontja - C. pontja közötti távolság a tengelyek - a.
Különböztesse elem testtömeg Dmi. A tehetetlenségi nyomaték a tengely körül 0 egyenlő:
Mint látható az ábrán, ahol:
Most a tehetetlenségi nyomaték Dmi részecskék (9.10) is képviseli összegeként:
Ahhoz, hogy megtalálja a tehetetlenségi nyomatéka az egész testet, meg kell adni az összes, a tehetetlenségi nyomatéka a részecskék:
Itt a jele az összeget tett ki állandó - a távolság a tengelyek között is. Az első kifejezés a jobb oldalán Ma = 2, mivel = M - test tömege. Második kifejezés = IC - a tehetetlenségi nyomaték tekintetében egy átmenő tengely a tömegközéppont. A harmadik ciklus nulla, mert ez az összeg egyenlő a termék tömeg-vektort a tengellyel C által végzett tömegközéppontja a szervezetben. De C tengely áthalad a tömegközéppontja, így u = 0 M = 0.
Azáltal, hogy ezeket az eredményeket az egyenletben (9.12), kapjuk kifejezése a tétel a Huygens-Steiner:
Ez a tétel jelentősen leegyszerűsíti a kiszámításához a tehetetlenségi nyomaték.
Ismert, például a tehetetlenségi nyomatéka a rúd képest egy átmenő tengely a tömegközéppontja (9.7):
Használata Tétel Huygens-Steiner könnyen kiszámítható a tehetetlenségi nyomatéka a rúd képest z „tengely halad például át a rudat régió (9.3 ábra.):
Ez az érték a tehetetlenségi nyomaték egybeesik az eredmény (9,8), amit kapott közvetlen integrációt.