Hogyan számoljuk ki a terület síkidom kettős integrál

Kezdjük, hogy megvizsgálja a tényleges folyamat számítási kettős integrálok és ismerje meg a geometriai jelentése.

A kettős integrál számszerűen egyenlő a terület síkidom (terület integráció). Ez a legegyszerűbb formája a kettős integrál függvényében két változó értéke egy :.

Először is vizsgáljuk meg a problémát általános módon. Most egy csomó meg fog lepődni, hogy mennyi ez tényleg egyszerű! Kiszámoljuk a terület síkidom. Limited vonalak. Mert meghatározottság azt feltételezzük, hogy az intervallum. A terület a szám számszerűen egyenlő:

Mi képviseljük a régióban a rajzon:

Mi választjuk ki az első út, hogy megkerülje a nagysága:

És ha egyszer egy fontos technikai kinevezést: ismételt integrálok külön lehet vizsgálni. Első belső integrál, majd - a külső integrál. Ez a módszer erősen ajánlott kezdeni egy szál vízforraló.

1) kiszámítja a belső integrál, az integráció mellett végezzük a változót „y”:

A határozatlan integrál itt egyszerű, banális és ezután Newton-Leibniz formula, az egyetlen különbség az, hogy a határértékek az integráció nem számok, és funkciókat. Először, keretezett az „y” (egy primitív függvény) felső határt, akkor - alsó határ

2) A kapott eredmény az első lépésben kell behelyettesíteni a külső integrál:

Több kompakt rekord minden megoldás a következő:

A kapott formula - pontosan dolgozik képlet területén síkidom a „normális” határozott integrál! Lásd leckét számítása terület segítségével a határozott integrál. van minden alkalommal!

Azaz, a probléma a terület kiszámításával segítségével kettős integrál nem sokban különbözik a probléma megtalálni a terület segítségével a határozott integrál! Tény, hogy ugyanaz a dolog!

Ennek megfelelően bármely nehézségek merülnének fel! Úgy vélem, nem túl sok példa, mint te, sőt, többször is szembesült ezzel a feladattal.

A kettős integráció területének kiszámítására síkidom. Limited vonalak.

Megoldás: Tegyük képviselik a régiót a rajzon:

Szögletes formák számítani kettős integrál képlet szerint:

Válassza ki a következő lapot sorrendben területén:

Itt és az alábbiakban nem fogok lakni, hogy a bejárási területet, mert nagyon részletes magyarázatot adtak az első bekezdésben.

Mint már említettem, egy kezdő jobb újra kell számolni a integrálok külön ugyanazt a módszert is kibír, és én:

1) Először is, a alaptételének általános képletű vizsgált belső integrál:

2) A kapott eredmény az első lépésben helyettesített a külső integrál:

2. tétel - valóban megtalálja a négyzet alakú sík formák segítségével a határozott integrál.

Itt egy buta és naiv feladat.

A furcsa példája önsegítő:

A kettős integráció területének kiszámítására síkidom. Limited vonalak. .

Hozzávetőleges minta befejező vizsgálatok határozatai végén a leckét.

A példák 9-10 lényegesen előnyös, ha első módszer bypass terület kíváncsi olvasók egyébként megváltoztathatja a rendelést bejárás és kiszámítja a területet a második módszer. Ha nem hibázik, akkor természetesen lesz ugyanazt az értéket a terület.

De bizonyos esetekben hatékonyabb módja, hogy megkerülje a második mezőben, és végül a politika a fiatal különcök nézni egy pár példa erre a témára:

A kettős integráció területének kiszámítására síkidom. Limited vonalak.

Megoldás: Örülünk, hogy a két parabola a furcsaság, ami az oldalán feküdt. Smile nem kell hasonló dolgokat több integrálok fordul elő gyakran.

Mivel a legegyszerűbb módja annak, hogy a rajz?

Képviseli a parabola formájában két funkciója van:
- egy felső karja, és - az alsó ága.

Hasonlóképpen, mi jelentenek parabola formájában felső és alsó ága.

További taxi pontonkénti ábrázolási, ami egy ilyen bizarr ábra:

Szögletes formák számítani kettős integrál képlet szerint:

Mi történik, ha úgy döntünk, az első út, hogy megkerülje a területen? Először is, ezen a területen kell majd két részre osztható. Másrészt, mi lesz megfigyelni ezt a nagyon szomorú képet :. Integrálok, persze, nem a szintje ijesztő, de ... Van egy régi mondás matematikai: valaki gyökerek barátságos, hogy létra nincs szükség.

Ezért egy félreértés, amit megadott feltétel kifejezzük az inverz funkciók:

Inverz üzemmód Ebben a példában az az előnye, hogy ha egyszer az egész készlet parabola teljesen nélkül elhagyja, makk, gallyak és gyökerek.

Egy második módszer, megkerülve a mező a következő:

tehát:

Mint mondják, érezni a különbséget.

1) vannak kiegyenesedett belső integrál:

Az eredmény szubsztituált a külső integrál:

Integráció tekintetében változó a „y” nem szabad összekeverni, ez lenne a levél „sic” - Jó, hogy integrálja és rajta. De aki olvasta a második bekezdésben a lecke Hogyan kell kiszámítani a kötet egy forgástest. nem érezte a legkisebb zavart egy „y” integrálásával.

Mit is mondhatnék .... Mindent!

Hogy teszteljék a technika integráció próbálja kiszámítani. A válasz állítólag pontosan ugyanaz.

A kettős integráció területének kiszámítására síkidom. korlátozott vonalak

Ez egy példa a független megoldásokat. Érdekes megjegyezni, hogy ha megpróbálja használni az első megoldás régióban ez a szám lett volna osztva nem két, hanem három részre! És ennek megfelelően, akkor kap három pár ismételt integrálok. Néha előfordul.

Mesterkurzus véget ért, és itt az ideje, hogy lépjen nagymestere szint - Hogyan számoljuk ki a kettős integrál? Ilyen megoldásokat. Megpróbálom a második cikket, nem Maniace =)

Megoldások és válaszok:

2. példa: Oldat: oblastna ábrázolják a rajz:

Válassza ki a következő lapot sorrendben területén:

tehát:
Térjünk át az inverz funkciók:
A fülön sorrendben területén:

tehát:
válaszolni:

4. példa: Megoldás: Azt viszont, hogy a közvetlen funkciók:


Végezze rajz:

A fülön sorrendben területén:

válaszolni:

6. példa: Oldat: rajz:

Térjünk át az inverz funkciók:


Sorrendjének módosítása az integráció, elosztjuk a térség integrációs két részre. Az, hogy a bypass nagysága:
1), 2)
válaszolni:

8. példa: Oldat: ábrázolják a régió az integráció az ábrán:

Térjünk át az inverz funkciók:

Sorrendjének módosítása bejárás a test:

válaszolni:

10. példa: Oldat: oblastna ábrázolják a rajz:

Szögletes formák számítani kettős integrál képlet szerint:

Válassza ki a következő lapot sorrendben területén:

tehát:
1)
2)
válaszolni:

12. példa: Oldat: Mi képviseli ez a szám a rajzon: