Qb Quadrature síkidom
Előadás 17. A terület sík alak squarability
17.1. A koncepció Quadrature síkidom
N l o d körülbelül f és g y r kb perc bármely korlátozott készlet sík-pontok
A készlet az úgynevezett d c n és e n h n s m, ha van egy kör, amely az összes pontok a beállított.
A közelítő terület számításánál használjuk a gyakorlatban, például paletkuprozrachnuyu lemez vagy papírlapot, amelyen egy négyzetrács. egymásra
dyvaya be alakja, számolja meg a négyzetek tartalmazott az ábrán. Ezt a számot meg kell szorozni a terület egy négyzet, amelynek hozzávetőleges értéke egyenlő a négyzet alakú egy hátránya. Ahhoz, hogy egy közelítése területén ez a szám meghaladja, úgy a négyzetrács, amelynek közös pont az alakja. Figyelembe számtani átlaga
Ábra. 1: Hozzávetőleges területen mérés mozaik.
cal ezen értékek között, megkapjuk a közelítő érték a terület az ábra. A kisebb négyzetrács raklap, annál pontosabb eredményt lehet elérni.
Felmerül a kérdés: melyek síkidomok lehet általánosítani ezt a módszert, hogy megtalálják a területen? Természetesen meg kell határozni, mi terület és squarable figura.
Ahhoz, hogy a koncepció a terület síkidom fog menni egy speciális fajtája a saját síkidomok, az úgynevezett sokszög.
Sokszög fogják hívni egy része a sík által határolt egy egyszerű zárt sokszög vonal, azaz. E. zárt görbe nélkül önálló álló véges számú egyenes hivatkozások (szegmensek) csatlakozik oly módon, hogy az elején a következő szegmens egybeesik a korábbi végén, az elején az első intervallum egybeesik a végén az utóbbi. A lényeg az sokszög határpont a sokszög 1. A készlet minden határpontok a készlet az úgynevezett d c n és e n-edik a beállított.
A terület minden sokszög lehet kiszámítani, hogy azt nem átfedő háromszögek (nincs belső közös pontja). Középiskola természetesen ismert a következő képletek kiszámításához háromszög területe.
1. A képlet háromszög területe oldala és a magasság. A terület a háromszög egyenlő fele a termék hosszának oldalán a háromszög a hossza hívni
1. Emlékezzünk rá, hogy az M pont az úgynevezett határpont A halmaz, ha vannak ilyenek pont szomszédságában M pontokként tartozó halmaz, és nem tartoznak a A.
Következésképpen, fjP JG több négyzetek írva a sík alakú sokszög korlátos fenti (bármely területen körülvevő sokszög alakú), és fjQjg több tartomány körülhatárolt mintegy sokszögű alakzatok alulról korlátos (a terület minden sokszög írva az ábrán). Amint az
2. Ismeretes, nem üres korlátos fenti (lent) a beállított van egy legalább a felső (legnagyobb alsó) kötött. Jelölje s = supfjP JG és hívja ezt a számot a n t y p e n n e th
ï a u és d s w számok; s számot = inf fjQjg nevezett rendre n E U n d e n l o -
u és d s th ábra.
Jóváhagyása 17.1.1. A belső területén az ábrán már nem a külső terület:
s = supfjP JG inf fjQjg = S:
Bizonyítás. Mivel bármely beírt és körülírt sokszögek P és Q, ábrának megfelelő. egyenlőtlenség (17,1), minden olyan területet jQj egy felső korlátja fjP JG. majd
s = supfjP JG jQj 8 Q;
mint a szuprémum a készlet a legkevésbé a felső szélei. -tól
arány (17.2), amely az alsó határ az S and S fjQjg inf fjQjg, OAE
a legnagyobb alsó korlát a készlet a legnagyobb alsó élek. Így, az az állítás bizonyított: s S.
Meghatározása 17.1 (terület fogalmát Jordan 3). A lapos alakú említett p és q és p y m e a d (vagy amelynek olyan terület), ha egy külső területe S az ábra egybeesik a belső területe s. A száma S = S = s úgynevezett négyzet alakú.
Példa 17,1 (Nekvadriruemaya ábra). Tekintsük a síkidom:
= F (x; y). 0 X 1; 0 y 1 + D (x) g;
ahol a D (x) a Dirichlet funkció: D (x) = 1, ha X racionális szám, és D (x) = 0, ha xchislo irracionális.
Amint a (17,3) az összes ábrán a racionális pont c abszcissza ordináta y 2 x [0; 2], míg az összes pont c irracionális számok van ordináta abszcisszán x y 2 [0; 1]. Következésképpen, a pontokat a készlet = f (x; y). 0 X 1; 1 y 2 g vannak
határán. Minden sor határpont az ábra (17.3) A jelentés megállapította, kék az ábrán. Ezek közül pont tulajdonosa (e x racionális), illetve nem tartoznak
(Azok, amelyekben x irracionális); határ y = 0 nyilván tartozik.
Könnyen belátható, hogy a maximális területet írt sokszög egyenlő 1-gyel,
2 Term I, előadás 3.
3 francia matematikus Camille Jordan (1838 1922).
és minimális területe körülíró sokszög 2 m. f. s () = 1,
S () = 2. a meghatározása a alakja 17,1 (17,3) nem squarability.
17.2. kritériumok squarability
Tétel 17.2.1. Annak érdekében, hogy Quadrature síkidom szükséges volt, és elegendő bármilyen pozitív szám „jelezhet körülölelő sokszögalakzatokat Q és alakja írt sokszög P. különbség jQj JP J terület, amely kevésbé lett volna”. jQj jp j <" .
Bizonyítás. Szükségszerűség. Legyen az ábrán squarable, t. E. S = S = S. OAE EAE
Ezután, definíció szerint, a legalább felső határát a beállított fjP JG bármely szám „> 0 utalhat alakú feliratos a sokszög P., amelynek nagysága eltér kevesebb, mint s” = 2:
8 "> 0 9 o JP j> s 2";
rendre meghatározott infimum fjQjg beállítva ugyanazt a számot „> 0 utalhat alakú körülvevő sokszög Q, amely eltér az S felület kisebb, mint a” = 2:
9 K. jQj
Hozzáadja ezeket az egyenlőtlenségeket, azt találjuk, (figyelembe véve egyenlet s = S), ÷ Oi
8 „> 0 9 P, Q, P; Q. jQj JP j
Tekintettel arra, hogy a JP j s S jQj, hogy
8 „> 0 0 S s jQj JP j <":
Önkényes, „azt jelenti, hogy a S s = 0. Tehát, ábra squarable. Bizonyítás.
Definíció 17.2. Azt mondjuk, hogy a határ @ síkidom és m e e t n l o - u Nagy. p és w n n y y n y. ha bármely pozitív „jelzi a körülíró sokszögalakzatokat Q és alakja írt sokszög P. négyzetek különbség kisebb, mint”: jQj JP j <".
Így 17.2.1 tétel lehet a következőkben foglalhatók össze.
Tétel 17.2.2. Ábrára lapos volt Quadrature szükséges és elegendő ahhoz, hogy e¼ @ határ menti terület volt egyenlő nullával.
Ha a sokszög Q, együtt a határ, és tartalmaz egy lapos alakú. és P jelentése egy sokszög tartalmazott az ábrán. vett keret nélkül, akkor a különbség határozza Q n P egy sokszög alak, együtt a határ, és tartalmazza az összes pontot a határ @ ábra. Mivel a tulajdonságai adalékanyag tér mnogougougolnika egyenlőség JQ nP J = jQj JP j, akkor Tétel 17.2.1 is formálhatjuk a következőképpen.
Tétel 17.2.3. Hogy kitaláljuk lapos volt Quadrature szükséges és elegendő ahhoz, hogy e¼ @ átnyúló lehet helyezni egy sokszög alakú tetszőlegesen kis területen.
Definíció 17.3. A pontok halmaza a síkban az úgynevezett m n o w e t c o m o a l o u és d és n y l b, ha benne van mogougolnoy ábrán tetszőlegesen kis négyzet.
Lemma 17.2.4. Bármilyen rectifiable görbe nulla területen.
Bizonyítás. Legyen L egy rectifiable görbe, és `a hossza. Osztjuk a görbe segítségével n + 1 képpont egymástól, mindegyik a hosszúsága egyenlő `= n. (Az a lehetőség, ilyen bomlás nem kétséges.) Tegyük fel, minden egyes ilyen n + 1 pont a közepén egy négyzet egy oldala 2` = n. Kombinálása ezek a négyzetek egy sokszög alakú körül a görbe által leírt L, és a terület a sokszögű alakzatok nem haladja
A terület nagysága négyzetek, azaz a. e. száma