első integrálok
Meghatározása Lie-származék és az első integrált rendszer
Tekintsük a rendszer \ (n \) - edik érdekében \ [\ frac >>> = \ left (,, \ ldots,> \ jobbra), \; \; i = 1,2, \ ldots, n, \] ahol \ (\ left (,, \ ldots,> \ right) \) folytonosan differenciálható valós függvény egy tartomány \ (D \ in>. \) vektor formában, a rendszer van írva, mint \ [= \ mathbf \ left (> \ right) \; \; \ text> \; \; = \ Bal (> \ left (t \ right)> \\ \ left (t \ right)> \\ \ vdots \\ \ left (t \ right)> \ end> \ jobbra),> \; \; = \ Bal (>> \\> \\ \ vdots \\> \ end> \ jobbra).> \] Tegyük fel, hogy \ (D \) határozzuk meg, mint egy folyamatosan differenciálható függvény vektor \ (\ mathbf \ bal (> \ right ). \) származéka a vektor függvény \ (\ mathbf \ bal (> \ right) \) irányába a vektor mező \ (\ mathbf \ bal (> \ right) \) (Lie-származék) adják \ [>> \ mathbf = \ left (\, \ mathbf, \ mathbf> \ right)> = >>> + \ sum \ limits_ ^ n >>>>> = \ frac >>>,> \], ahol \ (\ szöveg \, \ mathbf \) - gradiens függvény \ (U \) és \ (\ left (\, \ mathbf \ mathbf> \ right) \) a skaláris szorzata vektorok \ (\ text \, \ mathbf \) és \ (\ mathbf. \)
Bevezetett származék irányába a vektor mező (Lie-származék) általánosítása a származék állandó irányban, amely széles körben használják a vizsgálatokban a funkciók több változó.
Ha nem konstans függvény \ (\ mathbf \ bal (> \ right) \) kielégíti \ [> \ mathbf \ ekv 0 \] minden \ (\ mathbf \ D, \), akkor ez az úgynevezett első integrált rendszert.
Abban az esetben, autonóm rendszerek (a jobb oldalán egyenletek \ (\) nem függ kifejezetten a változó \ (t \)), az első szerves határozza inkább az egyszerű expressziós: \ [> \ mathbf \ ekv 0> \; \; >>> = \ sum \ limits_ ^ n >>>>> \ equiv 0> \; \; \ Bal (\ mathbf \ right) \ ekvivalens C,> \], ahol \ (C \) - állandó. Továbbá korlátozzuk magunkat az autonóm rendszerek.
Amint látható, az első szerves állandó marad végig semmilyen megoldást \ (\ mathbf \ left (t \ right). \) Más szóval, a fázis pályák \ (\ mathbf \ left (t \ right) \) rendszer alapja az egyik felületén az első szinten szerves \ (\ mathbf \ left (\ mathbf \ right). \) Abban az esetben, másodrendű rendszer, ez a szint lesz az első sorban integrál.
Tegyük fel, hogy a sorrendben a autonóm rendszert \ (n \) talált \ (k \) első integrálok: \ [_ 1> \ left (\ mathbf \ jobbra), _ 2> \ left (\ mathbf \ jobbra), \ ldots, _K> \ left (\ mathbf \ jobbra), \; \; k 0, \; y> 0> \]