Kapcsolódás grafikonok, H4S
Egy gráf azt mondják, hogy csatlakoztatni. ha bármely két különböző csúcsai ez a grafikon van egy lánc. ezeket összekötő csúcsot.
Ha a G gráf, megadhat egy pár különálló csúcsok. amelyek nem kapcsolódnak a lánc (egyláncú), a grafikon elbomlik.
A legegyszerűbb példa a szétkapcsolt gráf - grafikon tartalmazó elkülönített csúcs, a legegyszerűbb példa a csatlakoztatott gráf - minden teljes Kn gráf.
Tétel szétkapcsolt grafikon
A grafikon megszakad, ha, és csak akkor, ha a csúcsok halmaza V feloszthatjuk két nem üres részhalmaza V1 és V2 úgy, hogy minden gráf szélén csatlakozik csúcsai egyik alcsoportjában.
Bizonyítás.
Legyen G (V, E) - szétkapcsolt grafikon. Mi rögzíti a v csúcs, és hagyja, hogy a V1 készlet. áll csúcsok v és az összes a csúcsai a V, amelyek össze vannak kötve láncok vertex v. A szett V1 nem üres (ez tartalmazza, de legalább vertex v), és nem esik egybe a beállított V (V1 = V gráf G (V, E) - van csatlakoztatva, mint bármely két csúcsa léteznek különböző lánc tompított keresztül v). Tekintsük hozzáadásával V2 = V \ V1.
A V2 - nem üres, és nem él gráf G (V, E) nem kapcsolódik semmilyen egyik csúcsa V1 bármelyike vertex V2. Ezért épített készletek V1 és V2 kialakítjuk a kívánt partíciót a készlet V.
Megfordítva, tegyük fel, hogy létezik egy partíciót V1∪ V2. több V, kielégítő usloviyuteoremy.
Megmutatjuk, hogy a G gráf (V, E) le van választva. Veszünk egy tetszőleges pontpár v ∈ V1 és V2 w∈. a különböző alcsoportok és feltételezik, hogy van egy lánc ezeket összekötő csúcsokat. Ez az áramkör tartalmaz egy él, amelynek végpontjai tartoznak a különböző alcsoportok, ami ellentmond a hipotézist. Ez azt bizonyítja, a tétel.
W csúcsa egy gráf elérhető a v csúcs, vagy ha w = v, vagy van egy lánc az elején v és w végét.
A következmény tétel
Ahhoz, hogy a G gráf már csatlakoztatva van szükség, és elegendő ahhoz, hogy azt bármilyen vezetékes vertex elérhető összes többi a gráf.
tulajdonságai grafikonok
1 ° .Minden vertex tartozik egy és csak egy csatlakoztatott készüléken.
2 ° .Lyuboy véges gráf egy véges számú csatlakoztatott komponensek.
3 ° .Graf álló egyetlen csatlakoztatott készülék össze van kötve.
4 ° .Minden komponense a gráf a részgráf.
5 ° .A minden gráf vagy ő vagy annak komplementerével van csatlakoztatva.
bizonyíték tulajdonságok
Megmutatjuk, tulajdonságait 4 és 5 °.
4 °. Legyen G1 (V1, E1) - néhány eleme a G gráf (V, E). Tekintsük a csúcsok halmaza V2 = V \ V1 G gráf, kívül a komponens G1 (V1, E1). Ha eltávolítjuk a minden csúcsa V2 együtt minden incidens szélek kapjunk részgráfja G (V, E) egybeesik a csatlakoztatott komponens G1 (V1, E1).
5 °. Legyen G (V, E) egy gráf n-edrendű, és G = (V, E) -, hogy a komplementer gráf Kn. Ha G csatlakoztatva van, nyilvánvaló. Legyen G szétkapcsolt grafikon G1 (V1, E1) - annak egyik csatlakoztatott komponenst és V2 = V \ V1. Ezután minden két v ∈ V1. w ∈ V2 -, emellett van egy él G vw ∈ E. Ennélfogva, bármely csúcspont V2 csatlakozik bármelyike vertex V1 borda tartozó E. és bármely két csúcsot V1 csatlakozik egy lánc hossza 2, mind a kapcsolatokat, amelyek szintén fekszenek E. Ezért G csatlakozik.