pontonkénti konvergencia

enged n = 1 ∞ \> _ ^> - szekvencia formájában f n funkciókat. X → R \ colon X \ to \ mathbb> (n = 1. 2. ...) ha X - domain, közös az összes család funkcióit.

Ha ez a szekvencia jelen van (végleges) határa, az a pont x lehet társítani ezt a szekvenciát határt, jelölő annak f (x):

Ha figyelembe vesszük az összes pontot a készlet E ⊂ X. ahol az említett határérték létezik, lehetséges, hogy meghatározzuk az f függvény. E → R>.

Így egy bizonyos funkciót nevezzük pontonkénti határ szekvencia családok funkciók n = 1 ∞ \> _ ^> a forgatáson E:

f n → f ⇔ (∀ x ∈ E fn (x) → f (x) n → ∞) \ f \ quad \\ Leftrightarrow \ left (\ forall x \, E \ quad F_ (x) \ f (x) \ quad n \ to \ infty \ right)>.

A koncepció a pontszerű konvergencia bizonyos értelemben, ellentétben a koncepció egyenletes konvergenciája. pontosabban,

Ez az állítás erősebb, mint az állítása pontszerű konvergencia: minden egyenletesen konvergens funkcionális szekvencia konvergál pontonkénti, hogy ugyanazt a határértéket funkció, de a fordítottja általában nem igaz. Például,

lim n → ∞ x n = 0 x ^ = 0> pontonkénti intervallumon [0,1), de nem egységesen, a [0,1).

Pontonkénti határa sorozata folytonos függvények nem lehet folytonos függvény, de csak abban az esetben, ha a konvergencia nem egyszerre és egyformán. Például, a függvény

Tart a értéke 1, ha x egész szám, és 0, ha x nem egész szám, és ezért nem folyamatos az egész számok.

Az értékek fn funkció nem feltétlenül kell, hogy valós, és tartozhat bármely topologikus tér, így a koncepció pontszerű konvergencia értelme. Másrészt, az egyenletes konvergencia nem, általában elmondható, hogy a jelentéssel funkciókat értékek topologikus terek, de van értelme a konkrét esetben, amikor egy topologikus tér fel van szerelve az intézkedést.

Pontonkénti konvergencia ugyanaz, mint a konvergencia a terméket topológia a YX helyet. Ha Y jelentése kompakt. Ezután, a Tikhonov tétel. YX helyet, mint a CD-t.

Az intézkedés elmélete bevezeti a konvergencia szinte mindenütt sorozatából mérhető függvények. definiált mérhető helyet. amely magában foglalja a konvergencia szinte mindenhol. Egorov tétel kimondja, hogy a pontonkénti konvergencia szinte mindenütt a készlet véges intézkedés következtében egyenletes konvergenciája a forgatáson csak valamivel kisebb.