Normálosztó

Tétel 2. 1. 1. podgruppyN csoport ekvivalensek:

1. A készlet minden lcs Olyan, a fenti H zárt a szorzás alcsoportok.

H 2 zárva tekintetében figyelembe konjugátum Egy elemek, azaz a Ahan bármilyen hn AA.

AH = 3. Minden egyes aA.

4. Bal oldali és jobb oldali tágulási csoport alcsoportja H egybeesik.

Bizonyítás. 1 => 2. Mivel aH # 8729; -1 és H = H (n tétel 1.4.2. 1.4.), Majd az ily módon tulajdonságainak cosets 1) n. 1.4, Ana -1 N. Ez azt jelenti, hogy a H van minden eleme hH magában foglal minden olyan konjugátum nekik egy -1-ha elem (aA).

Nyilvánvaló, 3 => 1. Az is egyértelmű, hogy a 3 => 4. Bebizonyítjuk = 4> 3. Tegyük fel, hogy a bal oldali és a jobb-bomlás csoport alcsoportja H egybeesik, azaz Mindkét esetben az A csoport az unió az azonos alcsoportok. ezért LCS aH egybeesik néhány p.s.k. Hb, amely tartalmaz egy tagja. Szerint a Property 2) Hb = hektáronként. Tehát, AH = On.

2. 1. 1. meghatározása alcsoport H az úgynevezett normál csoport egy alcsoportja, ha megfelel az egyik megfelelő feltételek 1-4 tétel.

Használt neve - normális részcsoport, normális részcsoport. Recording NA azt jelenti, hogy a H normális osztó A.

Tétel 2. 1. 2. Legyen N A. Egy sor LCS (P.s.k.) csoport egy alcsoportja, de normális H relatív szorzás részhalmazainak csoportot alkot.

A bizonyíték közvetlenül következik a LET. 2.1.1 a 2.1.1 és 1.4.2 tétel.

Definíció 2. 1. 2. csoport minden lcs (P.s.k.) csoport normális részcsoport nevű H faktor csoport alcsoportja normál H és jelöljük A / H.

Megjegyzések: 1. Ha az A csoport véges, akkor a Lagrange-tétel | A / N | = (A H) = | A |: | H |.

2. bármely alcsoportja egy Abel-csoport normális.

1. Minden csoport az annak Normálosztó triviális E alcsoport = és A. Bomlási csoportok A-E egybeesik a csoport terjeszkedése A különálló elemek, és a tágulási A-ra egy áll egy mellékosztály egyenlő A.

2. Legyen A = - multiplikatív csoport invertálható négyzetes mátrixok n - ed rendű valódi elemekkel. A H = VMnn (R) | B | = 1> invertálható mátrixok tartozó amelynek determináns 1, egy multiplikatív alcsoportja ezen csoportjának A. Tegyük csoport bal oldalon látható lebomlása H. Legyen MMnn (R), akkor M # 8729; N = M # 8729; Bi | MMnn (R), Vin). Mivel Vin. a | Bi | = 1, és akkor | M # 8729; Bi | = | M | # 8729; | Bi | = | M | # 8729; 1 = | M |, azaz hagyott mellékosztály által generált M mátrix áll az ilyen mátrixok, determinánsok amelyek meghatározója a mátrix M.

Keressük a megfelelő mellékosztály által generált mátrix M.

Faktor-csoport A / N áll osztályainak mátrixok azonos nemnulla determináns és valójában multiplikatív csoportjában R *.

3. Tekintsük a multiplikatív csoport C * a komplex számok. C * azonosítani több pontot egy síkban nélkül származására.

a) H, azonosították egy átmenő egyenes a származási (nélkül). Ezután a C * / N - a ceruza vonalak az origón áthaladó, amelyeket meg kell szorozni hozzáadásával szögek az óramutató járásával ellentétes.

b) C * / C 1 - egy sor koncentrikus körök origó középpontú, amelyeket meg kell szorozni a szorzás a sugaraik. Ez ad okot, hogy úgy vélik, hogy a C * / C 1 egybeesik lényegében a multiplikatív csoportjában R +.