Matematika pszichológusok
A becsült eloszlási paraméterek
Bármilyen függvényében az eredmények a megfigyelések x 1. x 2. x n vizsgáltuk X valószínűségi változó nevezzük statisztikák (statisztikai értékelés).
Pl, jele a Q ismeretlen paramétere véletlen változó eloszlása. Ezután statisztikák Q n. használt közelítő értéket az ismeretlen nevű paramétert K. pontjában statisztikai értékelése ezt a paramétert. Például, értékeknek megfelelően a X 1. x 2. x n tudja számítani az átlagos, variancia, stb - az összes ezeket a számokat lehet tekinteni, mint az a pont becslések a megfelelő paramétereket ismeretlen véletlen változó.
A statisztikai becslések kaptak a „jó” közelítés a becsült paraméterek, meg kell felelnie bizonyos követelményeknek: az értékelés legyen elfogulatlan, hatékony és következetes.
35. meghatározása tárgyilagos statisztikai értékelés úgynevezett Q *. matematikai elvárás egyenlő az értékelt paraméter Q minden egyes minta esetében méretű, t. e. M (Q *) = Q. nevű eltolás becsléséhez a várakozás, amely nem egyenlő a becsült paraméter.
36. meghatározása hatékony nevezett statisztikai értékelés, amely (egy adott minta mérete) az a lehető legkisebb variancia.
Ha figyelembe vesszük a nagy mennyiségű minta (n is!) A statisztikai becslések előírt szavatoló.
37. meghatározása szavatoló úgynevezett statisztikai értékelés, amely, ha n → ∞ hajlamos a becsült valószínűsége paramétert.
Például, ha a szórás a torzítatlan becslés nullához, és ez a becslés konzisztens.
Tekintsük a pont becslések eloszlás paraméterek, azaz becslések amelyek által meghatározott száma Q * = f (x 1 x n). ahol az - (x 1 x n) mintát a lakosság X K eloszlását leíró tulajdonságok annak szerkezete és mennyiségileg szerkezete tartalmazza:
- jellemzői a helyzetet;
- diszperzió;
- ferdesége és csúcsossága.
Jellemzők rendelkezések
A jellemzői a helyzetben tartalmazzák, a következő becslések, az úgynevezett becsléseket központi tendenciát: divat Mo. Medián Me. a számtani átlag vagy a minta azt jelenti, és a kvantilisokat.
divat
Nagyon fontos az ilyen jellemző érték, amely akkor fordul elő leggyakrabban a tanulmány sorozat, az aggregált. Ez a mennyiség az úgynevezett mód (Mo). A diszkrét számú Mo határozza kiszámítása nélkül a jellemző érték a legmagasabb frekvencia.
Például tegyük fel, hogy adott egy variáció szám: 9, 10, 13, 13, 13, 13, 15, 18, 20, 25. Aztán a divat Mo = 13.
Kiszámításakor állapotban lehet különböző helyzetekben:
1. Két jellemző értéket, egymás mellett állva, van ugyanilyen gyakran. Ebben az esetben, a divat egyenlő a számtani átlaga a két érték. Például, a következő sorban az adatok:
12, 13, 14, 14, 14, 16, 16, 16, 18, 19
Mo = (14 + 16) / 2 = 15.
2. Két értéket is egyaránt megtalálhatók gyakran, de ne álljon a közelben. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az adatsorok két mód, azaz ő bimodális.
3. Ha az összes adatot értékek fordulnak elő azonos gyakorisággal, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat nem a divat.
A leggyakoribb adathalmazok egy modális attribútum értékét. Ha az adatok száma fordul elő két vagy több azonos jellemző értékek, beszélünk a heterogenitás a lakosság.
Medián.
A második jellemző számérték számos adatot az úgynevezett medián (Me) - ez
jellemző érték, amely elválasztja a száma kettő. Ellenkező esetben, a medián az a tulajdonsága, hogy a vizsgálati minta felét jellemző értékek engedje, fél tovább. Ha páratlan számú elem az adatsort, a medián egy központi tagja a sorozat, és még a számtani középértéke két központi értékek a sorozat.
Ebben a példában, a 9., 10., 13., 13, 13, 13, 15, 18, 20, 25 kapjuk Me = (13 + 13) / 2 = 13. A számítás a medián csak akkor van értelme az jellemző szekvenciát.
A számtani középérték a zászló.
Tegyük fel, hogy van egy X valószínűségi változó, az értékeket (értékesítés), ahol x 1 x 2 x n semmilyen módon tanultunk. Más szóval, a tanulmány a lakosság tekintetében X kvantitatív tulajdonság extrahált mintát x 1. x 2. x n térfogatú n. A minta átlaga az átlagos érték jellemző minta.
Ha az összes minta található más, a minta átlaga
X n # 175; = X + 1. + X n n.
Minták esetében ismétlődő értékeket x n # 175; = 1 n Σ i x i n i az úgynevezett súlyozott átlag. A minta átlagos felírható:
X n # 175; = Σ i x i k i.
ahol k i = n i n a megfelelő relatív gyakoriság. Jelölésére minta átlag is használhatja szimbólumok: X # 175;. M * (X). m x *.
Ha a minta változását mutatja idõközsorozat, akkor megteszi a közepén a részleges intervallum, és - a megfelelő frekvenciákat.
műveletek azonosítottunk valószínűségi változók, azaz, az összeget a véletlen változók és szaporodását valószínűségi változó egy konstans. Mindegyik értékek x i valószínűségi változó, amelynek ugyanaz eloszlás ismeretlen X. Tekintsük a minta átlag x # 175; n függvényében amelyek azonos valószínűségi változók, azaz olyanokat, amelyek az azonos eloszlás X:
x # 175; n = x 1 + x 2 +. + X n n.
Ez egy új véletlen értéket. Mi kiszámításához az elvárás
M (X # 175; n) = M (1 N (x 1 + x 2 +. + x n)) = 1 n (M x 1 + M x 2 +. + M x n) = M X.
Így kimutatták, hogy a minta azt jelenti, x n # 175; Ez egy torzítatlan becslése a matematikai elvárás M X.
Tekintsünk egy varianciája az X valószínűségi változó # 175; n. jelentése egy mintát jelenti függvényében amelyek azonos valószínűségi változók, azaz olyanokat, amelyek az azonos eloszlás X:
D (X # 175; n) = D (1 n (x 1 +. + x n)) = 1 2 N (D x 1 + D x 2 +. + D x n) = D X n.
Nyilvánvaló, hogy a növekvő n megkapjuk D X # 175; n → 0.
Ezért a minta átlaga konzisztens becslése M X.
Kvantilise - ez egy jellemző értéket, amely elválasztja egy előre meghatározott elosztási arány: 0,5% balra, jobbra 99,5%; Bal 2,5%, 97,5% jobb, stb Általában van a következő fajta kvantilis:
1) Kvartilis Q 1. Q 2. Q 3 - osztják az elosztó négy részre 25% minden egyes;
2) Quintiles K 1. K 2. K 4 K 3. - tudják elosztani a forgalmazási öt részre egyenként 20% -os;
3) decilisekben D D 1. 9. azok kilenc, és felosztják a forgalmazási tíz tömegrész 10% minden egyes;
4) százalékosztály 1. P P P 2. 99. őket kilencvenkilenc, és felosztják a forgalmazási száz egységnyi 1% minden részben.
Mivel a százalékos - a finom részlege, az összes többi kvantilisek keresztül mutatható százalékát. Tehát, az első negyedben - ez a huszonötödik százalékos első ötöd - második tized, vagy a huszadik százalékos, stb
diszperziós jellemzők
Segítségével leírására számos jellemző értékek, csak az intézkedés központi tendenciát lehet nagyon téved értékelésekor a természet a vizsgált populáció.
39. példa Például, tanulmányozzuk az átlagos életkor a két csoportban, amelyek mindegyike 6 személyek. A jellemző értékek a következők voltak:
1. csoport - 10, 10, 10, 50, 50, 50
2. csoport - 30, 30, 30, 30, 30, 30
By átlagos értékének kiszámításánál az egyes csoportokban, azt látjuk, hogy azok egyenlő, bár világos, hogy a minták különböző készletek. A hiba történt, mert a spread értékek ebben a korcsoportban.
Számos módja van, hogy fokának mérésére szórás vagy diszperziós adatokat. A főbb jellemzői a diszperzió: körét R. minta eltérés s 2 (n). RMS (standard) eltérés s (n). variációs koefficiens V.
söprés
A legegyszerűbb eloszlás paraméterek, a nagysága - a különbség a maximális és minimális jellemző értékek: R = X max # 8289; - x min # 8289;.
minta eltérés
Minta eltérés az úgynevezett számtani átlaga négyzetes eltérése a megfigyelt értékek a vonás a saját átlagértéket. Ha az összes minta található különálló,
s 2 (n) = 1 n Σ i = 1 n (x i - X # 175; n) 2.
Minták esetében többszörös súlyozott értékeket határoztuk variancia
s 2 (n) = 1 n Σ i = 1 n (x i - X # 175; n) 2 n i.
Belátható, hogy a variancia is kiszámítható a következő képlettel
s 2 (n) = 1 n Σ i = 1 n X i 2 n i - (X # 175; n) 2.
Jellemzésére a diszperzió minta jellemző értékek átlagértéke körüli értékű konszolidált jellemző - standard deviáció. Minta standard eltérése az úgynevezett négyzetgyökét minta eltérés s (n).
Ha számolunk a várakozást s 2 (n). ez könnyű megszerezni az arány M (s 2 (n)) = (1 - 1 n) D X. amelyből az következik, hogy a minta varianciabecsléshez van tolva, hogy a D X.
Ezért a gyakorlati számításokban használja az úgynevezett „korrigált” minta diszperziót megfelelő általános képletű
s 2 (n) = 1 (n - 1) Σ i = 1 n (x i - X # 175; n) 2.
Ez a becslés a variancia torzítatlan és konzisztens.
Megjegyzés: A képlet számítási minta eltérés és különböznek csak diszperziós korrigált nevezők. Elég nagy n, mintát tartalmazó diszperziós és korrigálni egy kicsit más, így a gyakorlatban a korrigált variancia, ha n <30.
Diszperziós tartománya látható a jellemző értékek tekintetében a számtani közép, azaz, hogy milyen szorosan köré csoportosíthatók a jellemző érték; Minél nagyobb a spread, annál nagyobb a különféle témákban a csoport, annál nagyobb a különbség az egyes témákban.
A variációs együttható
Minta variancia és a szórás egységekben fejezik ki a funkció alatt és nem alkalmasak összehasonlításával fok szórás két minta különböző jellegű. Összehasonlításképpen a fok a szórás variációs koefficiens alkalmazunk. A variációs koefficiens dimenzió nélküli szám, amely lehetővé teszi számunkra, hogy összehasonlítsuk a változékonysága véletlen változók, amelyek eltérő természetű:
V = s (n) x # 175; n # 8901; 100%.
Válogatott tényezők ferdeség és csúcsossága
Számításához minta aszimmetria többféle együtthatók. A legpontosabb amelyek szelektív aszimmetria együttható (n). megszámoltuk a képlet
A (n) = 1 n # 8901; s 3 (n) Σ i = 1 n (x i - X # 175; n) 3.
Aszimmetria jellemzi aszimmetria mértékét forgalmazás. tényező
aszimmetria változik mínusz és plusz végtelenig - ∞ aszimmetria mutató lehet használni, hogy értelmezze a tartalmat kapott adatok. Ha a megfigyelt attribútum számos tényező befolyásolja, amelyek mindegyike kis mértékben hozzájárul az attribútum értékét, akkor számíthatunk szimmetrikus eloszlás. Azonban, ha az aszimmetria kapott érték jelentős (nagyobb abszolút értékű, mint az 0,4-0,5), akkor feltételezhetjük, hogy van egy jelentős hatása egy vagy egy csoport tényezők.
Az egyszer használatos eloszlása egy másik jellemzője ennek a minta kurtosis arányt E (n). Csúcsosság jellemzi csúcsosság eloszlása. kurtosis intézkedés azt jelzi, a koncentráció mértéke az megfigyeléseket a minta átlagértékeit x # 175; n. Így a felesleges mennyiség a normális (Gauss) eloszlási görbe egyenlő 3. alapján számos okból, élességét vesszük ennek a görbének, mint a standard, így kurtosis értékindex segítségével E x - 3. Valójában a csúcsosság lehet képlettel számítottuk ki:
E (n) = E x - 1, n = 3 # 8901; s 4 (n) Σ i = 1 n (x i - X # 175; n) 4 - 3.
Kurtosis együttható is megváltozik mínusz és plusz végtelenig - ∞ 40. példa A számítási eljárást a jellemzői a minta. A fokok száma szabadság száma szabadon változtatható egységek a mintában. Így, ha a minta áll n elemek és x átlagos # 175; n. akkor bármely tagja ez a készlet lehet beszerezni, mint a különbség az n értéke # 8901; x # 175; n és az összeg az összes többi elemhez képest, kivéve a kiválasztott tételt. Vegyük például a kivágott karton háromszög. Helyzete a térben meghatározott teljes egészében a koordináták megadásával a három csúcsa (x 1 y 1 z 1). (X 2. y 2. z 2). (X 3. y 3. z 3). De, ha egy csúcsot van megadva, akkor a második nem lehet eltávolítani belőle több, mint a hossza az összekötő az oldalukon. Ezután állítsa be a második csúcs már elég két koordináta. A harmadik csúcs, miután az első két, ez elég ahhoz, hogy egy koordinátakészlet. Példa a pszichológiai NA Bernshtein tartozik. Tegyük fel, hogy szükség van, hogy érintse a hegyét az ujját a csengő. Aztán a kéz helyzete, amely a törvény legalább hét szabadsági fokkal. Sőt, úgy a helyzetét a vállízület rögzített, az összes többi öt ízületek hozzáteszi két szabadságfoka mínusz három fok, mivel a kapcsolat „a csúcsa a mutatóujj a hívást.” Vegyük azt az esetet diszperziós értékelést. Ismert diszperziós tulajdonság: s 2 (x) = 1 n - 1 ((x 1 - X # 175; ) 2+. + (X n - X # 175; ) 2) ha n értéke független koordinátákat n - 1 szabadsági fokkal. lesz n szabadsági fokkal.szabadsági fok
Így a helyzet a háromszög helyet lehet által meghatározott hat koordinátái, vagy azt hat szabadságfokú.
A fokok száma szabadságot számával megegyező szabadsági fokok mínusz a száma elemeinek egymásra kapcsolatokat.
s 2 (x 1 + x 2) = s 2 (x 1 + C x 2 + C).
Mivel ez a tulajdonság (járó) összegét
Ha a képlet a minta eltérés becslések szerint az ismert valós elvárás egy véletlen X változó egyenlő a. az összeg Kapcsolódó cikkek