Homogén lineáris egyenletrendszer - studopediya
Lineáris egyenletek, amelyben az összes állandó kifejezések nulla, nazyvayutsyaodnorodnymi:
Bármilyen homogén rendszerben mindig következetes, mert mindig van egy nulla (triviális) megoldás. Felmerül a kérdés, hogy milyen feltételek mellett homogén rendszer egy nem triviális megoldás.
Tétel 5.2.Odnorodnaya rendszer egy triviális megoldás akkor, ha a rangot a fő mátrix kevesebb, mint ahány annak ismeretlenek.
Következmény. Tér homogén rendszer egy nem-triviális megoldás, ha, és csak akkor, ha a meghatározója a mátrix az alapvető rendszer nem nulla.
5.6 példa. Határozza meg a paraméter értékét l, melyek a rendszer triviális megoldás, és találja ezeket a megoldásokat:
Határozat. Ez a rendszer egy nem triviális megoldás, ha a meghatározója a fő mátrix egyenlő nullával:
Így a rendszer nem-triviális, amikor L = 3, és L = 2. Ha L = 3 rangot mátrixot az alapvető rendszer értéke 1. Ezután, így csak egy egyenletet, és feltételezve, hogy az y = A és Z = b. Kapunk X = b-a. azaz
Ha L = 2 Rang fő rendszer mátrix egyenlő 2. Azután, választotta, mint a kisebb bázis:
Kapunk egy egyszerűsített rendszer
Ezért azt találjuk, hogy x = z / 4, y = z / 2. Feltételezve, hogy z = 4a. megkapjuk
A szett minden megoldás a homogén rendszerben van egy nagyon fontos lineynymsvoystvom. ha az oszlopok X1i X2 - megoldások a homogén rendszerben AX = 0. akkor bármilyen lineáris kombinációja AX1 + bX2takzhe olyan oldat, amely ezt a rendszert. Sőt, mivel a 0 = AX1 és AX2 = 0. akkor A (AX1 + Bx2) = aAX1 + bAX2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ez azért van, mert ezt a tulajdonságot, ha a lineáris rendszer több mint egy megoldást, majd ezeket a döntéseket lenne végtelen.
Lineárisan független oszlop E1. E2. ..., Ek. az oldatok a homogén rendszert nevezzük alapvető rendszer megoldások a homogén lineáris egyenletrendszer, ha a teljes oldatot a rendszer írható fel egy lineáris kombinációja az oszlopok:
Ha a homogén rendszerben van egy n változó, és a rangot r a fő rendszer mátrix. akkor k = n-r.
5.7 példa. Keressen egy alapvető rendszer megoldások az alábbi lineáris egyenletrendszert:
Határozat. Találunk a rangot a fő mátrix rendszer:
Így megoldások sokaságát, hogy ez a rendszer a egyenletek lineáris altér dimenziójának n-r = 5-2 = 3. Mi választjuk ki, mint a kis bázis
Aztán, így csak az alapvető egyenleteket (a többi lesz lineáris kombinációja az egyenletek), valamint az alapvető változókat (a másik, úgynevezett szabad változók átviszi a jobb oldalon), megkapjuk az egyszerűsített egyenletrendszert:
Feltételezve, hogy a = 1, b = c = 0, megkapjuk az első bázikus oldatot; beállítás b = 1, a = c = 0, megkapjuk a második bázikus oldatot; feltételezve c = 1, a = b = 0, megkapjuk a harmadik bázis oldatot. Ennek eredményeként a rendes alapvető rendszer megoldások formájában
Használatával az alapvető rendszer általános megoldása a homogén rendszer felírható
Megjegyezzük, bizonyos tulajdonságait megoldások inhomogén lineáris egyenlet AX = B, és az ezeknek megfelelő korrelációs egyenletek homogén rendszerben AX = 0.
Az általános megoldás az inhomogén sistemyravno összege az általános megoldás a megfelelő homogén rendszerben AX = 0, és különösebb oldatot az inhomogén rendszer. Valóban, legyen Y0 tetszőleges partikuláris megoldása az inhomogén rendszer, azaz AY0 = B. és Y - az általános megoldás az inhomogén rendszer, azaz a AY = B. Egyet kivonva egyenlet másik, megkapjuk
A (Y-Y0) = 0; Y-Y0 jelentése az általános megoldás a megfelelő homogén rendszerben AX = 0. Ezért, Y-Y0 = X. vagy Y = Y0 + X. QED.
Legyen heterogén rendszer formájában AX = B1 + B2. Akkor tudjuk írni az általános megoldás ez a rendszer formájában X = X1 + X2. ahol AX1 = B1i AX2 = B2. Ez a tulajdonság fejezi egyetemes tulajdonság bármely általános lineáris rendszerek (algebrai, differenciál, funkcionális, stb). A fizikában ez a tulajdonság az úgynevezett szuperpozíció elve. az elektronika és elektrotechnika - a szuperpozíció elve. Például az elmélet lineáris áramkörök semmilyen áram lehet beszerezni, mint algebrai összege áramok által termelt egyes energiaforrások külön-külön.