Határozott integrál és alkalmazásai, 4. oldal

Találunk metszéspontjait az abszcissza a parabola és a Direct osztja ezt a számot két részre - OASO és SUV-ok. A terület S a szám megegyezik a területének összege ezen részek:

2. A területet a görbe trapéz által határolt görbe paraméteres formában adtuk

Ha a görbe AB, korlátozza a görbe vonalú trapéz által adott paraméteres egyenleteket

A területet a görbe vonalú trapéz a következőképpen számítjuk ki:

Szintén funkciókat meg kell felelniük a következő feltételeknek:

1) folytonos és nem-negatív

2) van egy folyamatos-származék a

3) ugyanazon megjelölés vagy ha és amennyiben

Számoljuk ki a területet az ábra által határolt ellipszis

Írunk a paraméteres egyenleteket az ellipszis:

Tekintettel a szimmetria tulajdonságait a számok és a (4) képletű megkapjuk

Megjegyezzük, hogy a határait integráció találtak képletekkel (4 „):

3. A terület az íves szektor

Néha görbe nem lehet meghatározni egy derékszögű koordináta-rendszert és Poláregyenlet

Terület ívelt OM1M2 szektorban. kisebb ívet a görbe és két poláris sugarak OM1 és OM2. megfelelő értékek # 120 593, az 1 és # 120593; 2 poláris szög kiszámítása a következő képlettel:

6. példa Keresse meg a területet a kardioid

Határozat. Kardioid görbe által leírt tetszőleges pontja a kör kör átmérője a. gördülő és csúszó súrlódás nélkül egy rögzített kör azonos átmérőjű. Okokból szimmetria és a (5) képletű, kapjuk:

3.2 számítása az ív hossza a sík görbe

1. Az ív hossza a görbe adott derékszögű koordináta.

Legyen AB ív síkgörbe által meghatározott y = f (x), ahol f (x) - egy folyamatosan differenciálható függvény. Ezután a hossza a AB ív határozza meg a képlet

Számítsuk ki az ív hossza a görbe, amelynek végei az abszcissza X = 1, X = 4.

Mivel képlet szerint (6) van:

.

Abban az esetben, ha a görbe adja paraméteres egyenlet x = (t), y = ψ (t), ahol (t), ψ (t) - folyamatosan differenciálható függvénye ívhossz alábbi képlettel számítottuk ki:

(7), és ahol - a megfelelő érték a végei az ív A és B, azaz

Számítsuk ki az ív hossza egy ciklois ívek, X = 3 (tsin t).

mert minden ív a ciklois egyenlő, úgy véljük, az első a maga Arch, amely mentén a t paraméter változik 0 és 2π.

Szerint (7) képletű, van

Ha a görbe határozza polárkoordinátákban az alábbi egyenlet szerint, a M1M2 ívhossz képlettel számítottuk ki

amely megfelel a végén az ív M1 és M2.

Számoljuk ki a hossza a kardioid.

mert kardioid szimmetrikus a sarki tengely találunk fele a vonal hosszát, a változó polárszöget 0 π, majd duplán az eredményt. A képlet szerint (8), megkapjuk

3.3 kiszámítása térfogat szervek

1. Alkalmazási kör A test egy előre meghatározott keresztmetszetű

Hagyja OXYZ koordinátarendszerben van teste által határolt zárt felületen. Ez a szerv át a síkban a tengelyre merőleges Ox. Kapunk egy bizonyos alakja egy sík területen

Tegyük fel, hogy a függvény S (x) folytonos időben V térfogata a test alábbi képlettel számítottuk ki:

ahol - a keresztmetszeti területe megfelel az abszcisszán az egy pont x-tengely Ox. és - az abszcissza a pontok ezen a tengelyen, amelyen keresztül a gépen a korlátozó test irányába a Ox tengely.

Számítsuk ki a térfogatát, a test, következő egyenlet által definiált

Ez a test egy háromtengelyes ellipszisre ellipszis

között van metsző síkok, a megfelelő értékeket az X = 2 és x = 2. A keresztmetszete ellipszoid sík tengelyére merőleges Ox. ellipszis, az egyenlet a következő formában:

Half-tengely az ellipszis lesz

Egy ismert képlet ellipszis terület a

Találunk a keresztmetszeti terület

A képlet szerint (9) egyenlő a kívánt térfogatra

2. A kötet a forgástest

a) Mennyiség derékszögű koordináta

Kapcsolódó cikkek

• Fizikai alkalmazások sor integrálok