Elemei vektor algebra
Opredelenie.Vektorom úgynevezett irányított szegmens (rendezett pár pont). A vektorok is vonatkozik egy nulla vektor, a kezdet és a végén ugyanaz.
Opredelenie.Dlinoy (egység) vektor közötti távolság elején és végén a vektor.
Definíció. Vektor nevezzük esik. ha azok az azonos vagy párhuzamos vonal. A nulla vektor kollineáris bármilyen vektor.
Definíció. A vektorokat nevezzük egy síkban vannak. ha van egy síkban, amelyre párhuzamosak.
Kollineáris vektor mindig egy síkban, de nem minden egy síkban kollineáris vektor.
Definíció. Vektorok nevezzük egyenlő. ha egy egyenesbe esik, azonos irányban és azonos modulokat.
Bármely vektorok vezethet közös eredetű, azaz vektorok rendre egyenlő az adatok és a közös eredetű. A meghatározása az egyenlő vektorok, ebből az következik, hogy minden vektor végtelen számú vektorok, amelyek egyenlő vele.
Opredelenie.Lineynymi műveletek vektorokkal hívják összeadás és szorzás számmal.
Az összeget a vektorok egy vektor -
Work -. így esik.
Vektorok mindegyike ugyanazon irányba a vektorral (-), ha a> 0.
A vektort ellentétes irányú a vektor (-), ha a <0.
5) (a × b) = a (b) - asszociatív
1) alapján a tér említett bármely 3 nem egy síkba eső vektorok, vett egy bizonyos sorrendben.
2) Az alapot a síkot, mint bármely két nem-kollineáris vektorok, vett egy bizonyos sorrendben.
3) Az alapot a vonal bármely nem nulla vektor.
Definíció. Ha - a alapján a térben és. a számok a, b és g - nevezett alkatrészek vagy vektort koordináták ezen az alapon.
Ebben a tekintetben, tudjuk írni a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Egyenlő vektorok azonos koordinátákat,
- megszorozva száma vektor komponensek is szorozni ezt a számot,
- az illető komponensek vannak kialakítva úgy, hogy a vektorok.
A lineáris függését vektorok.
Definíció. A vektorokat nevezik lineárisan függ. ha létezik olyan lineáris kombinációja. ha nem egyenlő nullával egy időben ai. azaz .
Ha azonban csak akkor, ha ai = 0 teljesül. akkor a vektorokat nevezik lineárisan független.
Az ingatlan 1. Ha körében vektorok a nulla vektor, akkor ezek a vektorok lineárisan függ.
Az ingatlan 2. Ha a rendszer lineárisan függ vektorok hozzá egy vagy több vektor, a kapott rendszer is lineárisan függ.
Az ingatlan 3. A rendszer vektorok lineárisan függő akkor és csak akkor, ha az egyik vektorok bontjuk lineáris kombinációja más vektorok.
Az ingatlan 4. Bármely két kollineáris vektor lineárisan függ a másik viszont bármely két lineárisan függő vektorok egy egyenesen vannak.
Tulajdonság 5. Bármely 3 koplanáris vektorok lineárisan függ, és fordítva, bármely 3 síkban vektorok lineárisan függ.
Az ingatlan 6. Bármely négy vektorok lineárisan függ.
Hogy meghatározza a helyzetét egy pont lehet használni a különböző koordináta-rendszerben. A helyzet bármely pontján bármilyen koordináta-rendszerben kell egyedileg meghatározni. A koncepció a koordináta-rendszer egy gyűjtőhelyre származási (eredete) és alapja. Mind a gépen, és a térben lehet beállítani a különböző koordinátarendszerek. Válogatás a koordinátarendszer függ a karakter sor geometriai, fizikai vagy technikai probléma. Vegyünk néhány a leggyakrabban használt a gyakorlatban, a koordináta-rendszer.
Derékszögű koordináta rendszerben.
Mi fix pont O az űrben, és úgy véljük, egy tetszőleges M
A vektor neve sugara vektor pont M. Ha a teret a bázisra, az M pont lehet társítani bizonyos három szám - összetevői rádiuszvektorhoz.
Opredelenie.Dekartovoy koordinátarendszerben tér a munkapont és alapon. Egy pont az úgynevezett eredetű. Az egyenes vonalak az origón áthaladó hívják koordinátatengelyeken.
1. tengely - a vízszintes tengely
2. tengely - Az y tengely
A harmadik tengely - a z koordinátatengely
Ahhoz, hogy megtalálja a komponensek a vektor össze kell hangolni a vége vonjuk ki a koordinátákat a kezdet.
Definíció. A alapon nevezik ortonormált. ha a vektorok ortogonális és eggyel egyenlő.
Definíció. A derékszögű koordináta-rendszer, amelynek alapja az ortonormált úgynevezett derékszögű koordináta rendszerben.
Példa. Tekintettel a vektorokat (1; 2; 3), (-1, 0, 3), (2, 1, -1) és (3, 2, 2) a némi alapja. Mutassuk meg, hogy a vektorok. és alapot, és segítenek megtalálni a koordinátákat a vektor ezen az alapon.
Vektor alapot, ha azok lineárisan független, más szóval, ha az egyenletek a rendszer tartalmazza:
Ez a feltétel akkor teljesül, ha a rendszer mátrix determinánsa nem nulla.
Hogy megoldja ezt a rendszert használjuk a módszert Cramer.
A hossza a vektor koordinátáit meghatározott közötti távolság pontok kezdete és vége a vektor. Ha adott két pontot a térben egy (x1. Y1. Z1), B (x2. Y2. Z2), majd a.
Ha az M pont (x, y, z) osztja a szegmens AB sootnosheniil / m. koordinátáit az e pont meghatározása a következő:
Abban a speciális esetben, a koordinátákat a középpont vannak:
Lineáris műveleteket vektorok koordinátáit.
Tegyük fel, hogy a vektorok a derékszögű koordinátarendszerben
A skaláris szorzata vektorok.
Definíció. Belső szorzata vektorok és egy szám egyenlő a termék a oldalainak hossza a koszinusza a köztük lévő szög.
A tulajdonságok a skalár termék:
Ha figyelembe vesszük a vektorok a derékszögű koordináta-rendszer, a
Az eredményül kapott egyenletek, megkapjuk a képlet közötti szög a vektorok:
Példa. Mekkora szöget zár be a vektorok és. ha
Példa. Find skalár szorzata (3 - 2) × (5-6), ha
+ 12 × 36 = 240-336 + 432 = 672-336 = 336.
Példa. Mekkora szöget zár be a vektorok és. ha
Példa. Hogy milyen m vektorok és merőleges.
Példa. Keresse skalár szorzata vektorok. ha
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Vector termék.
Opredelenie.Vektornym terméket vektorok nevezzük vektor. kielégíti az alábbi feltételeket:
1). ahol j - közötti szög a vektorokba,
2) egy vektor merőleges a vektorok és a
3). és a forma egy jobbkezes vektorok.