Az oldatot a skalár egyenletek
Ide tartalma 12. oldal
függvény grafikonját helyébe egy tangens hozzá olyan ponton (x k. f (x k)), és a következő közelítés x k + 1 érkezik abszcissza a metszéspont tengelyével OX. Ezzel értelmezés könnyen design formulák (1.2), a Newton módszert és annak következtében, ez az értelmezés is nevezik érintőleges módszer.
Itt az X 0. x 1 x 3 poledovatelnye közelítés a gyökér X. alkalmazásából eredő a Newton-módszer.
Nyilvánvaló, hogy a konvergencia a gyökér tulajdonságaitól függ a függvény f (·), és nem mindig következik be. Tehát, ez könnyen elképzelhető, hogy még egy közelítés x 1 nem éri el a kezdeti időszakban, és az iterációs folyamat leáll.
Adunk hasznos tétel, amely garantálja, hogy bizonyos esetekben a konvergencia Newton-módszer.
1.1 Tétel. Ha f (a) · f (b) <0, причём f 0 (x) и f 00 (x) отличны от нуля (и, следовательно, сохраняют определённые знаки при x [a, b]), то, исходя из начального приближения x 0 [a, b], удовлетворяющего условию f(x 0 ) · f 00 (x 0 )> 0, lehet kiszámítani Newton módszerrel képletű (1,2) x egyedi gyökere (1) egyenlet bármilyen pontossággal.
Megjegyzés 1.1. Gyakorlati kritérium számítástechnikai, hogy a | x n + 1 - x n | <ε, где ε – требуемая точность вычисления корня.
Newton módszer - egy kényelmes módja annak kiszámításához a teljes gyökér
fokozatot. Mivel a probléma a kitermelés a gyökér n c egyenértékű a probléma megoldásának (1) egyenlet az f (x) = x n-C, a számítási képleteket a Newton-módszer feltételezi formájában
Itt egy k. bk - bal és jobb végét az intervallum, amely rendelkezik a gyökér x az előző lépésben.
A kezdeti szakaszban, feltesszük egy 0 = a, b 0 = b. Tegyük fel, a határozottsága, f (a) <0, f(b)> 0. Ha x 1 [a, b], majd kiszámítjuk a C = f (x 1), feltételezzük, egy 1 = c, b 1 = b 0, ha c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 és ismételje meg a számítást.
Ha a közelítés x június 1 [a, b], majd a készítmény alkalmazása (1.3) vagy (1.4), és a fentiek szerint haladjon: számítási c = f (x 1), feltételezzük, egy 1 = c, b 1 = b 0, ha c <0, и a 1 = a 0. b 1 = c при c> 0 és alkalmazzák Newton-módszer.
2. §. Körülbelül a gyökerei lokalizáció
Ha az egyenlet f (x) = 0, akkor a függvény f (·) folytonos, az alapja a lokalizáció a gyökér általában következménye Cauchy-tétel, ha f (a) f (b) <0, то на интервале [a, b] имеется по крайней мере один корень указанного уравнения (точнее нечётное число корней). Для локализации корня на интервале [a, b] можно применять, например, такие подходы:
• A grafikus módszer. A kezdeti egyenlet (1) csökkenti a formájában g (x) = h (x), ábrázoltuk függvény az y = g (x) és y = h (x), és egy meghatározott intervallumban OX tengelyen. amely birtokolja az abszcissza a metszéspontja a grafikonok. Ő használta, hogy tisztázza a gyökér.
Ide tartalma 12. oldal
• Menj át. [A, b] feloszthatjuk
N egyenlő szegmensek és számított értékei az f (·)
pontokon x k = a + kh, k = 0, 1 N, ahol h = (b - a) / N.
Ha ebben az esetben létezik olyan intervallumot [x k. x k + 1], melyre f (x k) f (x k + 1) <0, то тем самым корень функции будет локализован с точностью h/2. Может оказаться, что функция f(·) не меняет знака на последовательности . Если корень на [a, b] существует, то последнее означает, что шаг h слишком велик и его следует заменить на меньший, полагая, например, N = 2N.
• Keresés változtatható pitch. Ha az f (x) Lipschitz, azaz
| F (x 0) - f (x 00) | ≤ L | X 0 - X 00 |, X 0. x 00 [a, b],
meg lehet építeni egy szekvencia formájában:
0 x = a, x k + 1 = x k + | f (x k) |. L
Ennek oka az lehet, hogy amikor az f (x) = cx + d, feltételezhetjük, L = | c | és ebben az esetben, az x érték 1. módszer szerint előállított kielégíti az egyenletet f (x) = 0.
Ha L nem ismert, akkor lehet helyettesíteni
L k = | f (x k) - f (x k-1) |.
• A majorants. Ha tudjuk, hogy az értékelő funkció f (·) az [a, b], azaz
és a gyökerek a X - és x + ezeket a funkciókat,
Példa 2.1. Legyen f (x) = sin x + x 3 - 2, X [0, π]. mint
egy meghatározott intervallumban 0 Kapcsolódó cikkek