Alapon és sík térbeli felbontású
Definíció. Alapján egy síkban (térben) egy rendezett pár (triplett) noncollinear (nem párhuzamosak) vektorok. Bármilyen vektor egyedileg elbomlik alapján. A tágulási együtthatók nevezzük a koordinátáit a vektor tekintetében az adott alapon. A vektorok alapot derékszögű koordinátarendszerben Oxyz.
Mivel vektorok. Mutassuk meg, hogy a vektorok alapját képezik a gépet, és segítenek megtalálni a koordinátákat a vektor ezen az alapon.
Határozat. Ha két kollineáris vektor (), ezek alapját képezik a gépet. Mivel a vektorok és kollineáris és így alapot. Tegyük fel, hogy ezen az alapon vektor koordinátái, akkor a bomlás a vektor vektorok és formáját ölti, vagy koordináta formájában
Azzal a szándékkal, hogy megkapjuk a egyenletek semmilyen módon rendszer, azt találjuk, hogy.
Jelent. Így az alap vektor koordinátáit.
Skaláris, vektor, vegyes termék vektorok.
Definíció. Skaláris szorzata két vektor egy szám által meghatározott egyenlettel:
ahol - közötti szög a vektorok és a. Ha, akkor.
Ismerve a dot termék, meg lehet határozni a szög két vektor az alábbi képlet segítségével :.
Feltételek merőlegességi nulla vektorok (szög közöttük 90 °): vagy, és állapota kollinearitás, vagy.
A tulajdonságok a skalár termék:
1); 2); 3); 4), és a.
2. példa Find közötti szög a vektorok, és ha ,.
Határozat. Az általunk használt képlet. Ahhoz, hogy meghatározzuk a koordinátákat a vektorok és tekintettel arra, hogy a vektor kívül még a szintén azonos nevű helyzetbe, és a szorzás egy vektor egy szám - azt a számot megszorozzuk az egyes koordináta a vektor, és :.
Találunk belső szorzatát vektorok és hosszát. ,,. Behelyettesítve képletű kapjunk. Itt van.
Definíció. Vektor termék egy vektor olyan vektor (egy másik megjelölés), hogy:
a) a hossza, ahol - közötti szög a vektorok és a;
b) merőleges a vektorok és () (azaz, amely merőleges a síkra, amelyben fekszenek vektorok);
c) arra irányul, úgy, hogy a vektorok, a vektorokat alkotnak jobbkezes, azaz a végén a harmadik legrövidebb vektor forgása az első és a második látható az óramutató járásával ellentétes (2. ábra).
Koordinátái a vektor termék egy vektor által meghatározott képlettel:
A geometriai jelentése a vegyes termék: a kötet egy paralelepipedon, által alkotott vektorok, (4. ábra), és a térfogata a háromszög alakú piramis által alkotott közülük képletek szerint.
4. példa vannak a vektorok egy síkban ,,?
Határozat. Ha a vektorok egy síkban vannak, akkor a tulajdonság 4) a kevert termék nulla. Nézd meg. Keressük a kevert termék adatait vektorok számítása a meghatározó:
szegmens Division ebben a tekintetben.
Hagyja, hogy a szegmens az űrben Oxyz adott pontban. Ha van felosztva ponttal kapcsolatban, a koordinátákat a következő pontokat:
5. példa: megtalálni azt a pontot, amely elválasztja a szegmens tekintetében, ha.
Határozat. Mi határozza meg a pontok koordinátáinak:
Az egyenlet a gépet. Az általános egyenlete a síkon van formájában :, ahol - normál vektor a sík (azaz, síkjára merőleges), és az együttható arányos a távolság a származási a síkra.
Az a sík egyenletét ponton áthaladó merőleges vektor formájában
Az egyenlet a áthaladó sík három megadott pontokat, és a formája:
A szög a két sík között, és amelynek a normál vektorokat úgy definiáljuk, mint az a szög között a vektorok, és a képlet:
A távolság a pont a sík képlettel számítottuk ki.
Példa 6. Írja az a sík egyenletét pontokon átmenő ,,.
Határozat. Az általunk használt egyenlet átmenő sík három konkrét pontokkal. Kiszámítjuk a meghatározó
, vagy - a kívánt egyenlet sík.
Az egyenlet egy egyenes vonal a gépen. Az általános vonal egyenlete a síkban a formája: ahol - a normális vektor az egyenes vonal (merőleges vonal), és az együttható arányos a távolság a származási, hogy a vonal.
Az egyenlet a egyenes, amely áthalad egy adott ponton adják
Egy másik formában, ahol - a szög tangense által alkotott egyenes vonal és a pozitív irány az Ox tengely, az úgynevezett a lejtőn, b - az ordináta a metszéspont egy egyenes tengely Oy.
Az egyenes egyenlete átmenő adott két pont, és a forma
A szög a két egyenes határozza meg a képlet
A távolság a pont a vonal által adott
7. példa Mivel az egyenlet a két oldala a téglalap, és az egyenlet a átlók. Írja az egyenletek
A másik oldalról, a második átlója a téglalap.
Határozat. Azt, hogy sematikus rajza (6. ábra). Átírjuk az egyenletek formájában:,. Mivel a lejtőin a meghatározó vonalak oldalán a téglalap azonos, ezek az egyenletek határozzák párhuzamos vonal, vagyis az oldalsó hazudik nekik, ellenezte. Megtaláljuk a metsző pont az átlós ezen felekkel. Legyen ez az a pont, és. Ennek az első egyenlővé 1 és 3, majd a 2 egyenlet és 3:
Azonosítatlan oldalai párhuzamosak egymással, és merőlegesek az adatok (mivel ez a téglalap).
Megjegyzés. A lejtők a merőleges vonalak és a kapcsolódó.
Így az egyenlet ismeretlen oldala a téglalap az alábbiak szerint:
. Behelyettesítve az első egyenletben az a pont koordinátáit, a második - a lényeg, azt kapjuk, hogy ezért ,.
Találunk a koordinátákat a pontok és a megfelelő oldalai egyenlőségjelet egyenlet:
Egyenlet átlós megkapjuk az egyenlet egy átmenő egyenes a két adott pont és:
egyenes egyenlete az űrben. Közvetlen a Oxyz tér definíciója metszi a két sík (általános vonal egyenlete az űrben).
közvetlen kanonikus egyenletek térben van formájában
ahol - az a pont, amelyen keresztül az egyenes vonal, és a vektor, párhuzamosan egy adott egyenes vonal, az úgynevezett útmutató közvetlen vektort.
vonal egyenlete a térben áthaladó két adott pont és a forma
A bezárt szög két egyenes útmutatók a vektorok és határozza meg a képlet
8. példa piramis beállítja a koordinátáit a csúcsok ,. Meg akarja találni:
1) hossza és a bordák; 2) közötti szög a bordák és a; 3) a területet, az arc tartalmazó felsők; 4) A kötet a piramis; 5) közvetlen és egyenletek;
6) az egyenlet magassága csökkentette a csúcspontot síkban;
7) a távolság a vertex a síkra; 8) közötti szög a borda és az arc tartalmazó a tetejét.
Reshenie.1) hosszúságú élek és úgy definiáljuk, mint az egység vektorok és a képletek;
2) Keresse meg a koordinátákat a vektorok és:
A hossza ezen vektorok, azaz élek hossza, és a következők :,
. A koszinusza közötti szög a bordák és kiszámítja a következő képlet segítségével;
3) A területet a (háromszög) felével egyenlő a területet a paralelogramma által alkotott vektorok és, azaz a fele a modul a vektor termék a vektorok, amely egyenlő
4) A kötet a piramis.
5) Az egyenletek és közvetlenül is, mint egyenletek egyenes vonalak áthaladó két adatpont:
() (Abszcissza pont és azonos);
6) van irányítva vektor egy normál vektor magasságú síkban. Megkapjuk az a sík egyenletét:
- a sík egyenletét. Ezután a normál vektort a sík koordinátái. egyenes kanonikus egyenlet áthaladó párhuzamos a vektor a formában;
7) Annak érdekében, hogy kiszámításához a távolság a vertex a használati síkjára képletű. A mi esetünkben - és az egyenlet a gépet. Tehát;
8) közötti szög az egyenes vonal és a sík a következő képlettel:
, ahol - a normál vektor a gépet. és (lásd. 7. oldal). Így