A távolság pont síkra
Definíció. Mi nazyvatrasstoyaniem pontból a síkra minimális távolságot ettől a ponttól a pontig, m-síkon.
mert A legkisebb távolság a pont a pontokat minden vonalon fekvő m-sík egy távolság egy adott ponton az alapja a merőleges esett ki belőle a vonalat. A távolság a pont a m-sík egyenlő a távolságot ettől a ponttól, hogy a bázis a merőleges csökkent, hogy m-síkban.
Mi található a távolság egy pont által meghatározott síkra (4) egyenlet. Az egyenlet a merőleges egy pont a sík a forma (12). Behelyettesítve (12) (4). . (13). mert a távolság a pont a tetszőleges pont megegyezik a síkra (14). Különösen a távolságot az elejétől a sík a rendszer (15). Amikor a készülék normál vektor, (14) képletű felírható (14 „). és (15). (15 „). Abban az esetben, amikor az egység normál vektor, az abszolút értéke a szabad tag (4) egyenlő a távolság a síkban.
Jóváhagyása. Mivel ugyanabban az irányban vektorokat lehet kiválasztani párhuzamos síkokban. A szokásos vektorok párhuzamos síkokban kollineáris. A távolságok minden pont egy két párhuzamos sík a másik ilyen síkok egyenlő. Valóban, a távolság bármely pont áthaladó sík, és ezzel párhuzamosan a síkban (4) a irányvektorokkal. a (14) egyenlő. Ie egyenlő a távolság a pont a síkban.
Definíció. Felhívjuk a szám, annál ez a távolság, a távolság a két párhuzamos sík.
Ha a két sík egyenletet írott formában: (17). a köztük lévő távolság egyenlő a távolság pont. fekvő második síkban az elsőt. Azáltal, (14). ez a távolság. hanem azért, mert fekszik a második síkban, a vektor kielégíti az egyenletet ennek a síknak, azaz . Kapjuk (18).
23. Így a másodrendű görbe a kanonikus besorolása fajta lehetséges típusú esemény # 948; ≠ 0
Fix síkjában derékszögű koordináta-rendszert, és megvizsgálja az általános egyenlet a második fokozatot. (1)
Def: pontok halmaza, amelynek koordinátái kielégítik az 1. egyenlet az úgynevezett másodrendű görbe. Csoport vezető tagok (2) lehet tekinteni, mint egy kvadratikus alak a színkoordinátái (x, y) az x vektor. Mivel az A-mátrix szimmetrikus, # 61476; ortonormális alapján sajátvektorok, és ahol a mátrix a kvadratikus alak átlós és a valós. Hagyja, hogy a mátrix P = [pij] - átmenet mátrix az alaptól alapján e. Aztán. Ezután (5). Tekintettel a kvadratikus alak 5 write 2. (6) és (könnyen kiszámíthatjuk, P T AP). Ezért alapján kvadratikus alak lehet írott formában. Mivel P T P = I, a mátrix R - és geometriailag merőleges az átmenet a bázis a bázis a viszont megfelel bizonyos cél # 966; járásával ellentétes irányba. . Azáltal igazságosság 5.6 átírni az egyenlet 1 az új koordinátákat. (10)
Set (11). majd # 955; 1 # 955; 2 = detD = det (P T AP) = detP T DETA detP = DETA.
A) Tegyük fel, hogy ez minden, # 955; ugyanaz az előjele, akkor a pontok helye, amelynek koordinátái kielégítik azt a feltételt 13 jelentése:
a. Ellipszis, ha a megjelölés, amely ellentétes # 955;
b. „Képzelt ellipszis”, ha sign = jel # 955;
c. pont, ha c = 0
B) Legyen. azaz # 955; 1 és # 955; 2 különböző karakter. 13 Akkor lesz
a. túlzás egyenlet :. Ha c ≠ 0
b. És egy pár egymást metsző vonal, ha c = 0
24Privedenie egyenlet a másodrendű görbe kanonikus formában besorolás esetén lehetséges típusai # 948 = 0
3) Legyen. Azt feltételezzük, hogy az egyes # 955; 1 = 0, és a # 955; 2 ≠ 0. Ezután egyenlet 10 alakítjuk formájában. Az így kapott egyenlet - az egyenlet egy parabola. Ha b1 = 0, az egyenlet csökkenti, hogy az alábbi formában :. Ez az egyenlet:
a. egy pár párhuzamos vonalak, ha a # 955; 2 <0
b. illő vonalak, ha c = 0
c. "Képzeletbeli párhuzamos vonalak", ha c # 955; 2> 0
Invariáns görbe másodrendű. Meghatározása kanonikus egyenlet görbével másodrendű invariáns.
Def: invariáns görbe funkciók az együtthatók az egyenlet a görbe, amely nem változik az egyik derékszögű koordináta-rendszert a másikba.
Tétel. Egy másodrendű görbe. . Ezek invariáns. A bizonyíték tekinthető 2 esetben: 1) párhuzamos transzlációs (változás a változók készül, nyitott zárójel csoportosítva) 2) Forgatás alkalmazásával R. (via P csökkenti a D átló = P T AP, majd invariáns számítva D)
elliptikus görbe
28Privedenie quadric felület egyenlete kanonikus formában osztályozási típusait az esetben, ha a két # 955; i értéke nulla.
Let. majd felszíni egyenlet: (7). Ez a pár párhuzamos síkban. más, ha # 955; 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ1 C>0.
Ha a2 a3 ≠ ≠ 0 vagy 0, akkor végezze el a módosítást, figyelembe véve :. . Behelyettesítve 7 kapjunk. hol. Ez egy másodrendű görbe egy sík, vagy egy parabola hengert.
29Dokazat tétele a lehetőségét ketté az X tér, amely működik a lineáris operátor, mint a közvetlen összege altér gyökér: X = (p 1) + (p 2) + ... + (PK)
1. Tétel A tér R bontható egy közvetlen összege invariáns altér N0 (p) és az M (p). Ebben altér N0 (p) áll, csak a saját és a kapcsolódó megfelelő vektorok sajátérték # 955 = 0, és a szubtéri M (p) transzformációs reverzibilisen (azaz # 955 = 0 nem megfelelő konverziós értéket egy a altér M (p).
Bizonyítás: Ha az első állítást igazolni elegendő annak bizonyítására, hogy a kereszteződés altér N0 (p) és M0 (p) nulla. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz legyen létezik olyan y vektor ≠ 0, úgy hogy yÎM (p) és yÎN0 (p). Mivel yÎM (p). akkor Y = A p x.
Továbbá, mivel yÎN0 (p). akkor A p y = 0
Azonban, a egyenletek (8) és (9) Ebből következik, hogy létezik egy olyan vektor, x, amelyre A p x ≠ 0 és ugyanakkor A 2 p x = A p y = 0
Ez azt jelenti, hogy x társított vektor transzformáláshoz a sajátérték # 955 = 0 nem tartozik a altér N0 (p). ami lehetetlen, hiszen N0 (p) áll, az összes vektor.
Így kimutatták, hogy a kereszteződés N0 (p) és M0 (p) értéke nulla. Mivel az összeg a méretei e terek egyenlő n (ezt a kernel és képátalakítás A p), ebből következik, hogy R jelentése közvetlen ezek összege altér:
Most bebizonyítjuk, a második tétel állítása, azaz M (p) altér konverziós nem nulla sajátérték. Valóban, ha ez nem így van, akkor M (p) létezne egy vektor x ≠ 0, hogy a p x = 0
De ez az egyenlőség azt jelenti, hogy xÎN0 (p). azaz a közös vektor M (p) és N0 (p). és beláttuk, hogy egy ilyen vektor csak akkor lehet nulla.
2. tétel: Legyen A transzformációs tér Rk különböző sajátértékek # 955; 1, ..., # 955 ;. K. Ezután R bontható egy közvetlen összege k invariáns altér N # 955; 1 (p 1), ..., N # 955; k (pk) .:
Mind a altér N # 955; i (pi) az csak sajátvektorok és kapcsolódó megfelelő vektorok sajátérték # 955; i
Más szóval, ha minden i létezik egy számot pi. hogy minden xÎN # 955; i (pi):