A szerkezet a közös inhomogén megoldások lineáris egyenletek „Lineáris algebra
6. igénypontban. A szerkezet a közös döntéshozatal inhomogén lineáris egyenletrendszer.
Definíció. Let - nem homogén lineáris egyenletrendszer a mátrix rendszer A lineáris egyenletrendszer nevezzük homogén lineáris egyenletrendszer megfelelő az adott inhomogén lineáris egyenletrendszer.
Definíció. Bármilyen megoldás az inhomogén rendszer ez egy részleges megoldás.
Példa. Keresse partikuláris megoldás.
Határozat. Könnyen belátható, hogy
- különös megoldást a rendszer.
Jelöljük a készlet minden megoldása az inhomogén rendszer, azaz És az a hely a megoldások a megfelelő homogén rendszerben. Önkényes partikuláris megoldása az inhomogén rendszer jelöli X *, hogy a valódi egyenlőség.
Ebben a jelölési alábbi tétel.
Tétel. (Szerkezete a megoldások az inhomogén rendszer).
1) A összege különösebb oldatot az inhomogén rendszer és bármely megoldások a megfelelő homogén rendszerben a megoldást az inhomogén rendszer.
2) Minden olyan döntést az inhomogén rendszer felírható az összege egy adott oldatban az inhomogén rendszer, és az oldathoz a megfelelő homogén rendszerben.
1), ha majd;
azaz Ha, akkor;
2) ha majd, azaz a bármilyen megoldás az inhomogén rendszer felírható hol és.
Bizonyítás. 1) Tegyük fel, hogy. Ezután, hozzáadásával a mátrix tulajdonságainak
2) Legyen. majd
, azaz . Jelöljük. Aztán hol és, QED
Ez a készlet az úgynevezett összege altér és vektor (oszlop), és a másik az úgynevezett lineáris (vagy vektor) sokrétű párhuzamos a altér. (Lásd. A 7. igénypont alább.)
Mint látható ez a megjelölés,
Ezzel és az előző jelöléssel, az utolsó tétel lehet a következőképpen fogalmazott:
Tétel. (Szerkezete a megoldások az inhomogén rendszer).
Ellenkező esetben, a készlet S megoldások az inhomogén rendszer az összege a altér megoldások a megfelelő homogén rendszerben, és különösebb oldat X * a kezdeti inhomogén rendszer.
Következmény. Bármely oldatot az inhomogén lineáris egyenletrendszer a következőképpen írható fel:
ahol - az oldat teljes a megfelelő homogén rendszerben, és - egy tetszőleges különösen oldatot az inhomogén rendszer.
Definíció. Megoldás az inhomogén lineáris egyenletrendszer írott formában
ahol - a tetszőleges konstansokat (skaláris a mező), - egy alapvető rendszer megfelelő homogén rendszerben, az úgynevezett általános megoldás az inhomogén rendszer.
Következtetés. Problémák az inhomogén lineáris egyenletrendszer az, hogy megtaláljuk a készlet összes megoldásokat. És viszont, a készlet minden megoldás a formája:
. Ezért, a válasz elég, hogy írjon az általános megoldás :.
Példa. Oldja meg a rendszer :.
Először is, minden önkényes eljárás megtalálja a részleges megoldást, például úgy, hogy. Az általános megoldás a megfelelő homogén rendszerben, már talált :. Ezután az általános megoldás az inhomogén rendszer a következő :.